Модели Крипке
Определение
5.1. (1)
Пусть
– частично-упорядоченное множество,
называемое множеством
миров. Каждый
мир
есть разбиение множества V
всех пропозициональных переменных на
два подмножества: истинных и ложных (в
этом мире) переменных. Истинность
переменной x
(и формулы тоже) в мире w
символически записывается формулой
.
Этот объект называется шкалой Крипке,
если выполнено условие:
–
,
,
– истинность наследуется вверх по
шкале.
(2) Пусть – шкала Крипке, p – пропозициональная формула. Истинность формулы р в мире w этой шкалы определяется индуктивно:
а) формула О ложна, а I – истинна во всех мирах;
б) формула x, где , истинна в мире w тогда и только тогда, когда ;
в)
и
;
г)
или
;
д)
если
,
то
;
е)
ни в одном мире
формула р
не является истинной.
(3) Множество всех миров шкалы, на которых истинна формула р, называется областью истинности этой формулы.
Лемма 5.2.
Область истинности любой формулы –
двойственный идеал частично-упорядоченного
множества
,
то есть
если
,
,
то
.
Доказательство. Индукция по построению формул. База содержится в определении. Переход для импликации и отрицания – тоже. Дизъюнкции и конъюнкции соответствуют объединение и пересечение идеалов, которые тоже, очевидно, являются идеалами.
QED
Шкалы Крипке имеют простой наглядный «философский» смысл. Множество W можно понимать как множество всевозможных логически непротиворечивых ступеней развития некой цивилизации. Неравенство означает, что ступень v может получиться из ступени u в процессе развития этой цивилизации. При этом уж если формула доказана, то она так и останется истинной (то есть – цивилизация не совершает ошибок). Но, наверное, есть какие-то обстоятельства, которые так и останутся от неё сокрыты…
Теорема 5.3. (О корректности интуиционистского исчисления высказываний относительно шкал Крипке)
Формула, выводимая в интуиционистском исчислении высказываний, истинна во всех мирах всех шкал Крипке.
Доказательство. Достаточно проверить, что все аксиомы истинны во всех мирах, а правило МР это свойство сохраняет. Второе очевидно следует из определения импликации, и миры и шкалы тут вообще ни при чём.
Проверим аксиому
(А1). Если формула р
истина в некотором мире, то во всех
бòльших мирах истинна и формула
,
а, следовательно – и формула
.
Если же р
ложна, то импликация истинна в любом
случае.
Проверим аксиому
(А2). Аналогично предыдущему, достаточно
рассмотреть только те миры, в которых
истинна формула
.
Итак, пусть
.
Покажем, что в этом случае
.
Это означает, что
.
В силу произвольности v
это то же самое, что
.
При этом снова достаточно рассмотреть
только те миры, в которых
.
Итак, достаточно рассмотреть только
те миры, в которых
,
среди них – только те, в которых
,
и только те из них, в которых
.
Из первого условия следует, что во всех
таких мирах
,
из третьего – что в них
,
следовательно, в них
.
Итак, из
всегда следует
,
значит во всех рассматриваемых мирах
,
что и требовалось доказать.
Остальные аксиомы разбираются аналогично.
QED
Примеры. (1)
Шкала Крипке, в одном из миров которой
ложна формула
строится легко. Возьмём два мира, первый
меньше второго. Пусть формула p
истинна только во втором мире. Тогда
формула
не истинна нигде, а
истинна только во втором мире. В
действительности – это уже приведённое
рассуждение: 0 – значение формулы,
ложной в обоих мирах, 1 – истинной в
обоих мирах, ? – истинной только во
втором мире.
(2) Аналогичная
шкала Крипке для формулы
устроена немного сложнее. Рассмотрим
три мира: u,
v,
w,
такие что
,
,
а миры v
и w
несравнимы. Далее, пусть формула р
(и, следовательно,
,
так как импликация
выводима в интуиционистской логике)
истинна только в мире v,
а формула
– только в мире w.
В итоге получается, что в мире u
обе формулы
и
ложны, следовательно – ложна и исходная
формула.