Общая картина
Что означает теорема о полноте исчисления высказываний? На данный момент рассмотрены две теории: семантическая – состоящая из всевозможных тавтологий, и синтаксическая – состоящая из теорем исчисления высказываний. Теорема о полноте утверждает, что они совпадают, то есть в данном случае мир познаваем . В тех случаях, когда к семантической теории удаётся подобрать синтаксического «близнеца», говорят, что эта теория аксиоматизируема. Итак: пропозициональная теория аксиоматизируема.
Не будем забывать
также, что в действительности была
доказана более сильная теорема
,
из которой следует весьма важная теорема
о компактности, которую, в свою очередь,
можно спекулятивно переформулировать
так: познаваемый мир не может быть
«слишком сложно устроен», у него должны
быть сравнительно простые взаимоотношения
с бесконечностью. Впрочем, применительно
к пропозициональной логике этот тезис
выглядит странным и преждевременным,
ведь соответствующая теория разрешима,
то есть рассматриваемый мир, можно
сказать, прост до тривиальности.
Оставим в стороне философский аспект и посмотрим на контекст более практично. Предположим, что рассматривается некоторая семантически заданная теория. Теоретически есть два способа превратить её из «идеального объекта» в нечто осязаемое (то есть – по данной формуле определить, принадлежит ли она рассматриваемой теории).
Во-первых, она может оказаться разрешимой. В этом случае (теоретически!) вопрос о принадлежности ей любой формулы решается однозначно и за конечное время, поэтому можно сказать, что мы знаем в этой теории всё. Лучшего, кажется, и желать не стоит . В действительности (ложка дёгтя в бочке мёда) упомянутое «конечное время» может оказаться слишком велико, чтобы практически пользоваться разрешающим алгоритмом.
Во-вторых, она может оказаться аксиоматизируемой. В этом случае, рассматриваемую формулу можно попробовать доказать (без гарантии успеха), вооружившись знанием того, что искомое доказательство существует. Эта способ со стороны кажется «менее надёжным», однако (по странной случайности ) обычно проще придумать доказательство формулы, чем дождаться окончания работы над ней разрешающей процедуры. Именно поэтому, например, элементарная геометрия (которая, вообще-то разрешима) практически всегда рассматривается как аксиоматизируемая (точнее – аксиоматизированная!) теория.
Ну и остаётся вопрос: а бывает ли так, чтобы теория была недоступна обработке обоими этими инструментами? Это – тот самый, вопрос который (неожиданно, разочаровывающее и одновременно – стимулирующее к новым интеллектуальным подвигам ) решается отрицательно теоремой Гёделя о неполноте арифметики.
§4. Исчисление секвенций
1. Мотивировка
Если внимательно присмотреться, то рассмотрения §2 наводят на мысль о небольшом противоречии, присущем исчислению высказываний. Доказательства строятся с начала, от аксиом. Это неудивительно: естественное правило вывода modus ponens – однонаправлено и необратимо. Тем не менее, с практической точки зрения это неудобно. Доказательство приходится строить буквально «вслепую», штамповать теоремы одну за другой в надежде, что «кривая» выведет куда надо. Впрочем, иная картина заставила бы усомниться в адекватности рассматриваемой модели мыслительной деятельности .
При этом очевидно, что строить доказательства удобнее с конца, постепенно упрощая доказываемую теорему. Практически это и случилось в первом доказательстве.
Более последовательно эта точка зрения реализована в так называемом исчислении секвенций. Говорят, что исчисление секвенций – исчисление генценовского типа (от фамилии Герхарда Генцена, который начал их изучать), в отличие от исчисления высказываний, которое относят к исчислениям гильбертовского типа (от фамилии более известного парня ).
Один из естественных
способов поиска доказательства –
проверка обсуждаемой теоремы на
состоятельность, Иначе – поиск
контрпримера. Предположим, дана формула
q.
Как построить контрпример к ней? Для
начала следует проанализировать её
структуру. Предположим, что формула
имеет вид
.
Тогда следует поискать набор значений
переменных, который делает обе формулы
r
и s
ложными. Заметим, что эти две задачи
проще исходной. Это правило можно
оформить в виде дроби
,
которая уже встречалась в курсе. В
исчислении секвенций эта дробь – одно
из правил вывода.