5. Интерпретации

Определение 6.3. Пусть задана некоторая сигнатура и непустое множество , которое в данном контексте называется предметным множеством или носителем. Интерпретацией данной сигнатуры (на данном носителе) называется соответствие, сопоставляющее каждому символу функции от k переменных (конкретную) функцию , а каждому символу n-арного отношения (конкретное) n-арное отношение на множестве (которое можно отождествить с функцией ).

Замечание. Среди символов отношений весьма часто встречается двухместный символ равенства =. Интерпретации, в которых этот символ интерпретируется как равенство элементов множества , называются нормальными или собственными.

Пример. Рассмотрим аксиомы теории групп. При этом сигнатуры можно выбирать по-разному.

Вариант 1. Рассмотрим сигнатуру , где – символ функции двух переменных, – символ функции одного переменного, е – символ функции от нуля переменных, то есть константы, = – символ двухместного отношения. Тогда аксиомы теории групп можно записать формулами так:

(Г1) ;

(Г2) ;

(Г3) .

Вариант 2. Предположим, что решено не включать функцию обращения в сигнатуру, то есть рассмотреть сигнатуру поменьше: . Тогда вместо формулы (Г3) можно добавить формулу, которая её заменит:

(Г4) .

Вариант 3. Попробуем обойтись без термов. Заменим функциональный символ символом трёхместного отношения S, которое будем понимать так: . В этом случае вместо формулы (Г1) следует написать ужасное:

(Г5) .

6. Определение истинности

Пусть фиксирована сигнатура (и, соответственно, множество всех формул этой сигнатуры) и некоторая её интерпретация. Значения термов и формул удобнее всего определять «коллективно», для всех термов и формул сразу.

Определение 6.4. (1) Оценкой назовём отображение , сопоставляющее каждой предметной переменной x некоторый элемент предметного множества – её значение .

(2) Пусть – оценка. Определим значение терма t на оценке индуктивно посредством правил:

а) если , , то ;

б) если , , то не зависит от ξ и равно значению , которое принимает эта функция в рассматриваемой интерпретации;

в) если , где , то .

В этот момент определение следует прервать, чтобы сформулировать одно тривиальное утверждение.

Лемма 6.2. Для любого терма рассматриваемой (то есть – тоже любой наперёд заданной ) сигнатуры и для любой оценки значение этого терма определено однозначно.

Доказательство проводится абсолютно аналогично рассуждению, доказывающему лемму 6.1.

QED

Вернёмся к определению истинности.

(3) Значение формулы q на данной оценке в данной интерпретации может быть равно 0 или 1 (истина или ложь) и определяется индуктивно посредством правил:

а) , для любой оценки ξ;

б) если – атомарная формула, то , где – интерпретация символа n-арного отношения А;

в) ;

г) , , .

д) Для определения истинности формул вида и на оценке ξ следует рассмотреть множество всевозможных оценок, совпадающих с оценкой ξ всюду, кроме, возможно, её значения на переменной x. Положим:

i) ;

ii) .

(4) Формула, не имеющая параметров, называется замкнутой или суждением. Истинность суждения, очевидно, зависит только от интерпретации и не зависит от конкретной оценки.