§ 4.6. Производящие функции

Мы видели, что дискретные случайные величины, рассмотренные в предыдущих параграфах, принимали только целые значения X = 0, 1, 2, … . Нахождение числовых характеристик таких величин упрощается, если рассмотреть производящие функции.

Определение. Производящей функцией дискретной целочисленной случайной величины X с законом распределения P(X = k) = pk, k = 0, 1, 2, … называется функция, заданная степенным рядом

Поскольку все коэффициенты этого ряда не превосходят 1, то сравнение с геометрической прогрессией показывает, что этот ряд сходится, по крайней мере, для значений |s| < 1. Из свойства закона распределения видно, что P(1) = 1, так что область сходимости ряда содержит точку s = 1.

Теорема 4.4. Производящая функция суммы независимых случайных величин X и Y равна произ-

Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем по определению

PX +Y (s)= M (s X +Y )= M (s X sY )= M (s X )M (sY )= PX (s)PY (s).

Пример 4.8. Найти производящую функцию для биномиального закона.

Р е ш е н и е . Если вспомнить, что формула Бернулли получается из разложения бинома, то легко сообразить, что

Можно также вспомнить, что случайная величина X, распределенная по биномиальному закону, представляется в виде суммы n независимых слагаемых – индикаторов появления события A. Очевидно, что для одного слагаемого производящая функция равна q + ps. Теперь осталось применить

(4.23).

Пример 4.9. Найти производящую функцию для геометрического закона распределения. Р е ш е н и е . Имеем P(X = k) = pqk–1, k = 1, 2, …, поэтому

P(s) = ps + pqs2 + pq2s3 +K= qp (qs + q2s2 + q3s3 +K)= = qp 1 −1qs −1 = 1 −psqs .

Данное равенство справедливо для всех значений s, удовлетворяющих неравенству |qs| < 1, для которых мы применили формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Таким образом,

Пример 4.10. Найти производящую функцию для распределения Пуассона.

Р е ш е н и е . Для пуассоновского закона с параметром λ > 0 имеем P(X = k )= λkk! e−λ , k = 0, 1, 2, … Поэтому

причем все ряды сходятся для любых значений аргумента s. Окончательно

В качестве следствия получим теорему.

Теорема 4.5. Сумма независимых случайных величин, распределенных по закону Пуассона, распределена по тому же закону.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть X и Y – независимые случайные величины, распределенные по

закону Пуассона с параметрами λ и µ. Тогда их производящие функции находятся по формуле (4.26):

PX (s)=eλ(s−1) , PY (s)= eµ(s−1),

а производящая функциясуммыX + Y находится согласно теореме 4.4

PX +Y (s)= PX (s)PY (s)= eλ(s−1)eµ(s−1) =e(λ+µ)(s−1).

Отсюда видно, что сумма будет распределена по закону Пуассона с параметром λ + µ, что и требовалось доказать.

Зная производящую функцию дискретной случайной величины X, нетрудно найти ее математическое ожидание и дисперсию.

Теорема 4.6. Для дискретной случайной величины X с производящей функцией P(s) выполняют-

откуда легко получить формулы (4.25), (4.26).

Комбинируя полученные выражения для производящих функций биномиального, геометрического и пуассоновского законов (4.23), (4.24), (4.25) с формулами (4.26), (4.27), теперь нетрудно найти основные числовые характеристики этих законов.

1.Биномиальный закон.

Из выражения (4.23) для производящей функции получим

P′(s)= np(q + ps)n−1 , P′′(s)= n(n −1)p2 (q + ps)n−2 .

Подставляя s = 1 и учитывая, что p + q = 1, имеем

P′(1)= np , P′′(1)= n(n −1)p2 .

Используя формулы (4.26), (4.27), получим

M(X) = np, n(n – 1)p2 = D(X) + n2p2 – np,

откуда D(X) = npq.

2.Геометрический закон.

Дифференцируя два раза производящую функцию, имеем

откуда D(X )= pq2 , что и требовалось.

3. Закон Пуассона.

Имеем

P′(s)=λeλ(s−1) , P′′(s)= λ2eλ(s−1),

поэтому P′(1)= λ , P′′(1)= λ2 . Подставляя найденные значения в формулы (4.26), (4.27), получим

M (X )=λ , D(X )=λ2 +λ −λ2 = λ .