Глава 9

Нормальное распределение на плоскости

§ 9.1. Определение и основные свойства

Определение. Случайный вектор X = (X1, X2) называют распределенным по нормальному закону (с центром в начале координат), если его функция плотности имеет вид

где γ – некоторая постоянная, q(x1, x2) – положительно определенная квадратичная форма.

Заметим, что данное определение является прямым обобщением определения нормально распределенной случайной величины в одномерном случае с плотностью

Если центр распределения находится в точке (m1, m2), то плотность определяется из (9.1) как

f(x1 – m1, x2 – m2).

Вид константы, так же как и вероятностное истолкование коэффициентов квадратичной формы q, мы найдем, если воспользуемся теорией приведения квадратичных форм к главным осям.

Здесь нам лучше перейти к матричным обозначениям. Обозначим через x =(x1, x2 ) – вектор-

строку координат в R2, Q – матрицу квадратичной формы, так что квадратичная форма q запишется так:

Напомним, что в курсе линейной алгебры доказывается теорема о приведении квадратичной формы (9.3) к главным осям. А именно, найдется ортогональное преобразование O такое, что квадратичная форма в новых координатах y =(y1, y2 )

приводится к сумме квадратов. При этом матрица квадратичной формы в новых координатах

примет диагональный вид.

Применим изложенную теорию к функции плотности (9.1). Для этого воспользуемся формулами (7.46), (7.47) из главы 7. Поскольку определитель ортогональной матрицы равен ±1, то модуль якобиана линейного преобразования равен 1, так что функция плотности в новых координатах получается подстановкой

fY1 ,Y2 (y1, y2 )= f X1, X 2 (b11 y1 +b12 y2 ,b21 y1 +b22 y2 ).

Поэтому левую часть можно записать в виде, аналогичном (9.2):

Поскольку функция совместной плотности в (9.6) представляется в виде произведения функций плотности каждого аргумента, то случайные величины Y1, Y2 сами нормальны и независимы. Таким образом, справедлива

Теорема 9.1. Существует ортогональное преобразование с матрицей O такое, что компоненты случайного вектора Y = XO – независимые нормально распределенные случайные величины.

Обозначим через C(Y) матрицу ковариаций случайного вектора Y = (Y1, Y2). Легко видеть, что C(Y) имеет диагональный вид

а по таким же формулам преобразуется квадратичная форма q, то первый вывод: матрицей квадра-

тичной формы q в (9.1) является матрица, обратная к матрице ковариаций случайной величины X.

Теперь исследуем вид константы γ в (9.1). Мы уже отмечали, что при линейном преобразовании O константа в формуле совместной плотности не меняется. Для случайного вектора Y в (9.6) выполняется соотношение

γ 2 (Y )= 2π det C(Y ).

Из формулы (9.8) следует соотношение для определителей

det C(Y )=(det O)2 det C(X )=det C(X ),

Получаем второй вывод: константа γ имеет вид, заданный формулой (9.9). Ввиду важности полученных утверждений сформулируем теорему.

Теорема 9.2. Функция плотности нормального вектора X = (X1, X2) с матрицей ковариаций C имеет вид

Заметим, что если ρ = 0, т.е. случайные величины X1 и X2 некоррелированны, (9.14) превращается в формулу (9.6) для независимых величин. Таким образом, справедлива

Теорема 9.3. Для нормально распределенного случайного вектора X = (X1, X2) понятия независимости и некоррелированности компонент X1 и X2 эквивалентны.

Отметим также важный случай |ρ| = 1, когда формулу (9.14) использовать нельзя, т.е. двумерная плотность не существует. Из анализа коэффициента корреляции мы знаем, что условие |ρ| = 1 эквивалентно линейной зависимости компонент X1 и X2. В этом случае, хотя обе компоненты могут быть распределены нормально, однако распределение пары (X1, X2) сосредоточено на прямой и, следовательно, вырожденно.

§ 9.2. Условные нормальные распределения

Теорема 9.4. Для нормального вектора X = (X1, X2) условная плотность одной из компонент при фиксированном значении другой является нормальной.

o

Д о к а з а т е л ь с т в о . Переходя к отклонениям Xi = Xi −mi , mi = M(Xi), если это необходимо, будем считать вектор X центрированным. Будем считать для определенности, что фиксировали значение второй компоненты X2 = x2. Выделим полный квадрат по переменной x1, все остальное отнесем к константе.

Напишем явное выражение для полученной плотности. Чтобы найти константу, воспользуемся выражением (7.36) для нахождения условной плотности. Имеем

Обратим внимание читателя, что условные математические ожидания представляют из себя ли-

нейные функции.

§ 9.3. Геометрическая интерпретация двумерного нормального закона

Рассмотрим поверхность распределения, представляющую график функции (9.16). Она имеет вид холма с вершиной в точке (m1, m2) (см. рис. 9.1).

4 1

2

3 4

Рис. 9.1

В сечениях этой поверхности вертикальными плоскостями получим кривые, подобные кривым нормальной плотности в одномерном случае. В сечениях горизонтальными плоскостями будут получаться эллипсы. Запишем уравнение такого эллипса, который называется эллипсом рассеивания

где c – некоторая константа. Мы уже видели, что в главных осях Oξ1ξ2 уравнение (9.23) принимает канонический вид

При этом к уравнению (9.24) можно перейти с помощью переноса начала координат в точку (m1, m2) и поворота осей координат на угол α (см. рис. 9.2), который находится из соотношения

При σ1 = σ2, т.е. в случае, когда эллипс рассеивания превращается в окружность, угол α = π4 .

x2

ξ2 ξ1

m2

α

O

Рис. 9.2

§ 9.4. Многомерный нормальный закон

Мы вели изложение нормального закона на плоскости таким образом, чтобы обобщение на n- мерный случай получалось непосредственно. Поэтому мы приведем соответствующие формулировки без особых комментариев.

Определение. Случайный вектор X = (X1, …, Xn) называют распределенным по нормальному закону (с центром в начале координат), если его функция плотности имеет вид

где γ – некоторая постоянная, q(x1, …, xn) – положительно определенная квадратичная форма.

Если центр распределения находится в точке (m1, …, mn), то плотность определяется из (9.26)

как f(x1 – m1, …, xn – mn).

Так же, как и в двумерном случае, справедлива

Теорема 9.5. Функция плотности нормального вектора X = (X1, …, Xn) с матрицей ковариаций C имеет вид

Условием существования плотности (9.27) является невырожденность матрицы ковариаций C, что эквивалентно условию

detC ≠ 0.