Глава 6

Начальные и центральные моменты случайных величин

§ 6.1. Определение и основные свойства

Мы уже видели в предыдущей главе, какое большое значение имеют такие числовые характеристики распределения, как математическое ожидание и дисперсия. Обобщением этих понятий явля-

ются начальные и центральные моменты.

Определение. Начальным моментом порядка k (k N) случайной величины X называют ма-

Из определения ясно, что начальный момент первого порядка совпадает с математическим ожиданием.

Для дискретных случайных величин с законом распределения P(X = xi) = pi (i N) формула для начального момента порядка k выглядит следующим образом:

k =1

для абсолютно непрерывных случайных величин с плотностью f(x):

если ряд (6.3) и интеграл (6.4) сходятся абсолютно.

Определение. Центральным моментом порядка k (k N) случайной величины X называют

o

математическое ожидание k-й степени отклонения X = X – m, где m – математическое ожидание

X:

Мы уже видели, что первый центральный момент равен нулю, а второй центральный момент

Для дискретных случайных величин формула для центрального момента порядка k выглядит следующим образом:

o

Разлагая бином X k = (X −m)k и пользуясь свойствами математического ожидания, нетрудно получить формулы, выражающие центральные моменты через начальные. Например,

(X −m)2 = X 2 −2mX + m2 ,

откуда

µ2 = M [(X − m)2] = M (X 2 − 2mX + m2)=

= M (X 2 )−2mM (X )+ m2 =ν2 −ν12 ,

Полученная формула полностью идентична с уже известной формулой для дисперсии. Аналогично получаются следующие формулы, вывод которых предоставляется читателю:

Отметим следующие свойства третьего и четвертого центральных моментов.

Свойство. Если величины X и Y независимы, то

Д о к а з а т е л ь с т в о . Используя формулу куба суммы и свойство математического ожидания, имеем

µ3(X +Y )= M [(X +Y − mX − mY )3] = M [((X − mX )+ (Y − mY ))3]=

= M [(X − mX )3]+ 3M [(X − mX )2(Y − mY )] + + 3M [(X − mX )(Y − mY )2]+ M [(Y − mY )3].

По теореме умножения математического ожидания для независимых величин получим

µ3 (X +Y )= µ3 (X )+3µ2 (X )µ1(Y )+3µ1 (X )µ2 (Y )+ µ3 (Y ).

Поскольку центральные моменты первого порядка равны нулю, то формула (6.12) отсюда следует непосредственно.

Доказанная формула непосредственно обобщается на произвольное число независимых слагаемых:

µ3 (X1 + X 2 +K+ X n )= µ3 (X1 )+ µ3 (X 2 )+Kµ3 (X n ). (6.13)

Для моментов четвертого порядка аналогичное свойство выглядит более сложным образом.

Свойство. Для независимых случайных величин X и Y выполняется формула

Доказательство полностью аналогично предыдущему и оставляется читателю. Для произвольного числа независимых слагаемых формула (6.14) приобретает следующий вид:

§ 6.2. Вычисление моментов. Производящие функции

Рассмотрим ряд примеров нахождения моментов высших порядков для типичных законов распределения.

Пример 6.1. Найти все центральные моменты до четвертого порядка включительно для случайной величины X, распределенной по биномиальному закону с параметрами n, p, q = 1 – p.

Р е ш е н и е . Что касается нахождения центральных моментов первого и второго порядка, то ответ нам известен:

µ1(X )= 0, µ2 (X )= D(X )= npq .

Чтобы найти µ3, воспользуемся формулой (6.13) и представлением случайной величины X в виде суммы индикаторов появления события A в i-м испытании:

X = X1 + X 2 +K+ X n .

Для каждого слагаемого Xi третий центральный момент находится непосредственно

µ3 (Xi )= (0 − p)3 q +(1− p)3 p = −p3q + pq3 = pq(p2 −q2 )= pq(1−2 p).

Для нахождения центрального момента четвертого порядка воспользуемся формулой (6.15). Вначале найдем моменты для каждого слагаемого:

µ4 (Xi )= p4q + q4 p = pq(p3 + q3 )= pq(p + q)(p2 − pq + q2 )= = pq((p + q)2 −3 pq)= pq(1−3 pq).

Отсюда

µ4 (X )= npq(1−3 pq)+6 n(n2−1)pq ,

Для нахождения всех начальных моментов непрерывной случайной величины проще использо-

вать производящую функцию моментов.

Определение. Производящей функцией моментов случайной величины X называют математическое ожидание случайной величины esX , где s – действительный параметр:

Производящая функция моментов позволяет находить все начальные моменты случайной величины X. Справедлива следующая теорема.

Теорема 6.1. Если случайная величина X имеет начальный момент порядка n, то производящая функция ψX(s) n раз дифференцируема по s, и для всех k ≤ n выполняется соотношение

Если оставить в стороне вопрос о дифференцируемости данной функции, то соотношение (6.20) получается формально дифференцированием соотношения (6.19) k раз по s

ψX(k )(s)= M (X k esX ).

Подставляя в последнее соотношение s = 0, получим

ψX(k )(0)= M (X k )=νk ,

откуда непосредственно вытекает равенство (6.19).

Сравнивая разложение производящей функции моментов в ряд Маклорена с равенствами (6.19), получим ее разложение в ряд с использованием начальных моментов:

Пример 6.2. Найти производящую функцию моментов для случайной величины X, распреде-

ленной по нормальному закону N(a, σ). Р е ш е н и е . Имеем по определению

Для вычисления этого интеграла рассмотрим отдельно показатель экспоненты, стоящей под знаком интеграла. Имеем

Выделим в числителе последней дроби полный квадрат по x. После небольшого числа тождественных преобразований получим:

Таким образом, выражение для характеристической функции приобретет вид:

Поскольку первый множитель равен 1 как интеграл от плотности нормальной случайной величины N (a +σ 2 s,σ), то окончательное выражение для характеристической функции нормального закона имеет вид:

Особенно простой вид имеет характеристическая функция стандартного нормального закона

N(0, 1):

Теперь нам будет нетрудно найти все начальные моменты стандартной нормальной случайной величины. Вместо того чтобы дифференцировать функцию (6.22), можно разложить ее в ряд и сравнить с рядом (6.20):

откуда имеем выражения для начальных моментов:

§ 6.3. Моментывысшихпорядковичисловыехарактеристикизаконараспределения

Математическое ожидание и дисперсия определяют наиболее важные черты закона распределения: его положение и степень рассеянности. Для более подробной его характеристики используют моменты высшего порядка и такие числовые характеристики, как асимметрию и эксцесс.

Определение. Асимметрией распределения называют отношение третьего центрального момента к кубу стандартного отклонения:

Замечание. Асимметрия случайной величины X совпадает с третьим начальным (центральным) моментом соответствующей нормированной случайной величины.

Действительно, по определению

Поскольку все центральные моменты нечетных порядков равны нулю для распределений, симметричных относительно математического ожидания, то асимметрия в этом случае равна нулю. Далее изображены два типичных случая непрерывных распределений. В первом случае As > 0 и кривая распределения скошена влево относительно вертикальной прямой x = m, где m – математическое ожидание. Во втором асимметрия отрицательна и кривая распределения скошена вправо.

Выполним замену переменной t = λx – 1. Интеграл примет следующий вид:

Первообразную для последнего интеграла проще всего найти методом неопределенных коэффициентов:

∫t3e−t dt = (At3 + Bt2 +Ct + D)e−t .

Дифференцируя обе части и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получим

∫t3e−t dt = −(t3 +3t2 +6t +6)e−t .

Подставляя найденный интеграл в (6.26), получим окончательно

Определение. Эксцессом распределения называется величина

Поскольку для стандартного нормального распределения N(0, 1) мы нашли, что µ4 = 3 (см. (6.22)), то для нормального распределения эксцесс равен нулю. В частности, вычисляя эксцесс неизвестного распределения, мы можем судить о близости его к нормальному по этой числовой характеристике.

что и требовалось. В частности, при n = 100, p = 0,2, q = 0,8 имеем Ex = 0,0025. Это еще раз нам подтверждает то обстоятельство, что биномиальный закон при больших n хорошо согласуется с нормальным законом.

Наконец, для показательного закона вычисление эксцесса может быть выполнено способом, аналогичным тому, который был использован для вычисления асимметрии, и оставляется читателю.

Завершая рассмотрение асимметрии и эксцесса, сформулируем ряд их общих свойств. Свойство 1. Асимметрия и эксцесс инвариантны относительно линейной замены случайной ве-

личины:

Данное свойство следует из того, что для любого натурального числа k выполняется равенство

µk (aX +b)= M {[aX +b − M (aX +b)]k }= ak µk (X ).

Таким образом, асимметрия и эксцесс не меняются при сдвигах и растяжениях и их можно ис-

i= 1, …, n.

Вчастности, когда все X1, …, Xn имеют одинаковую дисперсию, то

Свойство 2 вытекает из доказанных ранее свойств центральных моментов µ3 и µ4 (см. формулы

(6.13) и (6.15)).

Заметим, что в случае одинаково распределенных независимых случайных величин X1, …, Xn асимметрия и эксцесс их суммы стремится к нулю, когда n → :

As(X1 +K+ X n )= n−12 As(X1 )→0 ,

Ex(X1 +K+ X n )= n−1Ex(X1 )→0 .