2.1.5. Положение уровня Ферми в полупроводниках

При определении концентрации носителей нам удалось обойтись без уровня Ферми. Однако для нахождения закона распределения носителей по энергии и реше­ния других задач необходимо знание положения уровня Ферми на энергетических (зонных) диаграммах.

Значение в i-, п-, р-полупроводниках может быть найдено с помощью выраже­ния (2.9), так как концентрации п и р нами уже определены. В собственном полупро­воднике n = р = , поэтому энергия уровня Ферми в нем из (2.9)

(2.23)

Подставляя в (2.23) из (2.12) и учитывая, что

(2.24)

Вторым слагаемым обычно пренебрегают, так как kТ << и мало значение(N_с и N_v сравнимы). В этом очень хорошем приближении вместо (2.24) получим

(2.25)

Таким образом, в собственном полупроводнике уровень Ферми практически на­ходится в середине запрещенной зоны.

Уровень Ферми вn-полупроводнике определяется из (2.9) при в соответствии с (2.19):

(2.26)

Умножая числитель и знаменатель второго слагаемого на и используя форму­лу (2.23), получаем

(2.27)

Так как >> , то из (2.27) следует, что в n-полупроводнике уровень Ферми распо­лагается значительно выше – середины запрещенной зоны. С ростом смеща­ется вверх, в сторону зоны проводимости, в соответствии с (2.26) он должен быть ниже нижнего уровня этой зоны . Но надо иметь в виду, что эта и другие приводимые фор­мулы применимы лишь к невырожденному полупроводнику, для которого справедливо распределение Максвелла-Больцмана (2.6). В действительности при некоторой кон­центрации примеси уровень окажется на расстоянии 2kТ от границы зоны проводи­мости, а при дальнейшем росте пересечет границу и войдет в зону. В этих случаях полупроводник становится вырожденным, т.е. необходимо пользоваться распределе­нием Ферми-Дирака (2.5), но при этом нельзя решить задачу аналитически.

Для нахождения уровня Ферми в р-полупроводнике также воспользуемся формулой (2.9), подставив вместо n концентрацию неосновных носителей (п =).

Введя аналогично предыдущему случаю величину под логарифм и используя при преобразованиях формулу (2.22), получим

(2.28)

Так как >>, то уровень Ферми вр-полупроводнике находится значительно ниже уровня Ферми собственного полупроводника, т.е. ниже середины запрещен­ной зоны. С ростом концентрации акцепторов уровень может приблизиться к потолку валентной зоныдаже войти в нее. Но когдаокажется ниже уровня(+ 2kT), полупроводник станет вырожденным.

Таким образом, зависимость положения уровня Ферми в п- и р-полупроводниках аналогична (рис. 2.4,а): уровень Ферми в примесных полупроводниках смещается в сторону зоны, где находятся основные носители. Значения концентрации приме­си, при которой положение уровня совпадает с границей зон, называют критическим ().

Остановимся на зависимости положения уровня Ферми от температуры T (рис. 2.4,б).

Положение уровня Ферми в i-полупроводнике по формуле (2.24) от температу­ры практически не зависит. В n-полупроводнике, для которого справедлива форму­ла (2.26), в рабочем диапазоне температур концентрация электронов от температу­ры практически не зависит («истощение примеси»), т.е. п=, поэтому уровень Ферми c ростом температуры смещается вниз из-за отрицательного знака перед вторым слагаемым. Однако при температуре T>Т_mах (см. рис. 2.3) полупроводник ведет себя как собственный, у которого уровень Ферми должен находиться в сере­дине запрещенной зоны. Чем меньше концентрация примеси , тем при меньшем значении температурыТ_mах происходит потеря свойств примесного полупроводни­ка. Такой же вывод следует сделать и для р-полупроводника: уровень с ростом температуры смещается к середине запрещенной зоны. Однако имеется сущест­венное различие в поведении уровня для германия и кремния, так как концентрация( вGe значительно больше (примерно на три порядка), чем в кремнии, т.е. при оди­наковой концентрации примеси значение Т_mах у германия будет ниже. Это обстоя­тельно объясняет тот факт, что кремниевые приборы имеют более высокие рабочие температуры (до 125...150°С).