- •Глава 2 электрофизические свойства полупроводников
- •2.1. Концентрация носителей заряда в равновесном состоянии полупроводника
- •2.1.1. Общие сведения
- •2.1.2. Метод расчета концентраций
- •2.1.3. Условие электрической нейтральности
- •2.1.4. Концентрация основных и неосновных носителей в примесных полупроводниках
- •2.1.5. Положение уровня Ферми в полупроводниках
- •2.1.6. Распределение носителей заряда по энергии
- •2.2. Неравновесное состояние полупроводника
- •2.2.1. Неравновесная и избыточная концентрации носителей заряда
- •2.2.2. Плотность тока в полупроводнике
- •2.2.3. Уравнение непрерывности
2.1.2. Метод расчета концентраций
Концентрация электронов n в зоне проводимости и концентрация дырок р в валентной зоне могут быть представлены следующими общими выражениями:
; (2.1)
; (2.2)
Величиныи – плотности квантовых состояний, т.е. число квантовых состояний в единичном интервале энергии зоны проводимости и валентной зоны в объеме 1 см3. Функция в (2.1) есть вероятность того, что состояние с энергиейзанято электроном. Соответственноозначает вероятность отсутствия электрона на уровне в валентной зоне, т.е. вероятность существования дырки.
Интегрирование в (2.1) должно производиться по всем уровням зоны проводимости, начиная с нижней границы . Однако верхний уровень (предел) заменен бесконечностью, чтобы произвести аналитическое интегрирование. Вносимая при этом ошибка незначительна из-за сильного (экспоненциального) убывания с ростом. Пределы интеграла (2.2) определяются граничным уровнем («потолком валентной зоны») за наименьшее значение энергии принято=0, чтобы можно было произвести аналитическое интегрирование, не внося существенной ошибки.
При квантово-механическом рассмотрении установлено, что
(2.3)
(2.4)
где h – постоянная Планка; и– эффективные массы электронов и дырок, отличающиеся от массы свободного электрона в вакууме из-за влияния на величину ускорения этих частиц собственного электрического поля кристаллической решетки.
Графики функций ипоказаны на рис. 2.1. Значенияив соответствии с (2.3) и (2.4) пропорциональны корню квадратному из интервала между рассматриваемым уровнем и границами зони.
Вероятностная функция f() в (2.1) и (2.2) определяется по формуле
(2.5)
которая называется функцией распределения Ферми-Дирака. В этой функции k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура, а – энергия уровня Ферми. Очевидно, что при. Поэтому формально уровнем Ферми является уровень, вероятность нахождения электрона на котором равна 0,5 (рис. 2.2). При Т > 0 К функция имеет плавный, но быстрый спад приблизительно в интервале значений энергии ±2kT около уровня . При комнатной температуре (T=300 К) kT= 0,026 эВ, т.е. ±2kT= ±0,052 эВ, что значительно меньше , составляющего единицы электронвольта. Вероятность при , и при .
Функцию распределения необходимо «привязывать» к зонной диаграмме полупроводника. Как правило, для этого надо знать, где находится уровень Ферми. У обычно используемых полупроводниковнаходится в запрещенной зоне: вn-полупроводнике – на «расстоянии» >>2kT от дна зоны проводимости, а в р-полупроводнике – на расстоянии>> 2kT от потолка валентной зоны и в формуле (2.5) можно пренебречь в знаменателе единицей, т.е. функция распределения Ферми-Дирака сводится приближенно к функции распределения Максвелла-Больцмана:
(2.6)
Полупроводники, для которых справедлива функция распределения Максвелла- Больцмана, называют невырожденными. Для них характерно то, что число частиц значительно меньше числа разрешенных состояний. Однако если в полупроводнике уровень Ферми доказывается в интервале 2kT вблизи границ зон или внутри этих зон, то следует пользоваться только функцией распределения Ферми-Дирака, а состояние полупроводника становится вырожденным. В этом состоянии число частиц сравнимо с числом разрешенных состояний.
Только для невырожденных полупроводников, используя (2.6), можно найти аналитическое решение интегралов (2.1) и (2.2) и получить фундаментальные формулы
(2.7)
(2.8)
Формулы (2.7) и (2.8) являются универсальными, так как применимы для расчета концентраций в любых типах полупроводников: собственном (типа i) и примесных (типов п и р). Коэффициенты и следует трактовать как эффективное число состояний, расположенных на границах зон (уровней и, которые только и входят в формулы). Значения идля кремния и германия составляют примерно 1019 см-3.
Формулы (2.7) и (2.8) следует также понимать как отражение взаимосвязи между концентрацией (числом носителей) и уровнем Ферми. Если известно значение , то можно вычислить концентрации п и р, соответствующие этому значению . Если же известна концентрация п (или р), то можно вычислить соответствующее ей значение . Формула для в этом случае получается из (2.7) или (2.8), но значение в результате расчета, естественно, должно получиться одинаковым:
(2.9)
Одинаковый результат является следствием имеющейся связи между значениями концентраций п и р, т.е. связи между полным числом носителей в зоне проводимости и валентной зоне. Рассмотрим эту связь.
Используя (2.7) и (2.8), найдем произведение концентраций:
Так как ширина запрещенной зоны
(2.10)
Получился важный результат: произведение концентраций противоположных по знаку зарядов не зависит от типа электропроводности полупроводника (i-, n-, р-типа) и от уровня Ферми , а определяется только шириной запрещенной зоны (т.е. веществом) и температурой.
Применим (2.10) для собственного (чистого, беспримесного) полупроводника, в котором концентрация электронов и дырок одинакова . Получим формулу
(2.11)
которую можно использовать для расчета концентраций носителей в собственном полупроводнике, не зная положения уровня Ферми:
(2.12)
или преобразования формулы (2.10) до вида
(2.13)
Смысл этого соотношения состоит в том, что увеличение концентрации частиц с одним знаком заряда сопровождается уменьшением концентрации частиц с другим знаком. Такая зависимость объясняется тем, что при увеличении, например, концентрации электронов п обязательно пропорционально увеличится и вероятность рекомбинации носителей, в результате чего будет пропорционально убывать концентрация дырок р.
Расчет по формуле (2.12) дает следующие значения : дляGe – 2,4 1013 см-3; для Si – 1,45 1010 см-3 ; для GaAs – 1,79 106 см-3. Превышение ширины запрещенной зоны кремния по сравнению с германием всего в 1,12/0,66=1,7 раза привело к уменьшению концентрации собственных носителей приблизительно в 103 раз.
Итак, для нахождения концентрации n и p по формулам (2.7) и (2.8) необходимо знать энергию уровня Ферми. Однако есть возможность обойтись без нее, так как кроме уравнения (2.13) имеется еще одно уравнение для n и p, в которое уровень Ферми в явном виде также не входит. Это второе уравнение получается из условия электрической нейтральности полупроводника, которое мы и рассмотрим.