2.1.6. Распределение носителей заряда по энергии

Эти распределения определяются подынтегральной функцией в выражениях (2.1) и (2.2) и изображены для i-, n-, р-полупроводников на рис. 2.5. Для каждого полу­проводника (рис. 2.5,a) в зоне проводимости изображена за­висимость , описываемая формулой (2.3), а в валентной зоне – формулой (2.4). Функция распределения Ферми-Дирака f(ε) «привязывается» к шкале энергии (рис. 2.5) по из­вестному значению энергии уровня Ферми (при f(ε) = 0,5). В соответствии с предыдущим рассмотрением f(ε) в n-полупроводнике смещается вверх от по­ложения в i-полупроводнике, а в р-полупроводнике вниз.

Перемножив значения и f(ε), получим распределение носителей по энергии в зоне про­водимости (рис. 2.5,в). Что каса­ется валентной зоны, то в соот­ветствии с выражением (2.2) надо умножать на[1 –f(ε)]. Очевидно, что площади полу­ченных распределений в зоне проводимости определяют концентра­ции электронов: в собственном полупроводнике, в n-полупроводнике (основные носители), вр-полупроводнике (неосновные носите­ли). Аналогично площади распределений в валентной зоне определя­ют концентрации дырок: в собственном полупроводнике, вn-полупроводнике (неосновные носители), вр-полупроводнике (основ­ные носители). В собственном полупроводнике площади обоих рас­пределений равны, так как, а в примесных полупроводниках большие площади соответствуют основным носителям, а меньшие (меньше, чем в собственном)– неосновным.

Все распределения имеют максимум, а затем быстро спадают.

2.2. Неравновесное состояние полупроводника

2.2.1. Неравновесная и избыточная концентрации носителей заряда

В состоянии равновесия концентрации связаны соотношени­ем (2.13):

(2.29)

в котором индекс «0» введен для обозначения равновесных концен­траций. В равновесном состоянии скорость генерации (прирост чис­ла носителей за 1 с в 1 см³) равна скорости рекомбинации (убыль чи­сла носителей за 1 с в 1 см³). Внешние воздействия (свет, введение извне носителей заряда, ионизирующая радиация и др.) вызывают появление избыточных концентраций – отклонение от равновесных значений, так что

(2.30)

где n и р – неравновесные концентрации, а и– из­быточные концентрации электронов и дырок. Для сохранения элект­рической нейтральности полупроводника число избыточных элект­ронов и дырок должно быть одинаковым:

(2.31)

Найдем произведение неравновесных концентраций для срав­нения его с (2.29):

Учитывая (2.29), получаем

(2.32)

т.е.

(2.33)

В случае . После прекращения внешнего воз­действия (возбуждения) должен происходить возврат к равновес­ному состоянию, причем скорость возврата будет определяться скоростью рекомбинации носителей заряда. При рассмотрении рекомбинационного процесса используется утверждение о том, что скорость рекомбинацииr пропорциональна произведению концен­траций участвующих в рекомбинации частиц с противоположными знаками зарядов:

(2.34)

где – коэффициент пропорциональности, называемый коэффици­ентом рекомбинации.

В состоянии равновесия скорость рекомбинации равна скоро­сти генерациии с учетом (2.34)

(2.35)

Убыль избыточной концентрации электронов в единицу времени должна быть равна разности между скоростью рекомбинации r и ско­ростью генерации :

(2.36)

Подставив в (2.36) величины из (2.34) и (2.35), получим

(2.37)

Аналогичное уравнение можно получить и для избыточных ды­рок, но необходимости в этом нет, так как из условия электрической нейтральности (2.31) следует, что

(2.38)

Подставив в (2.37) величины п и р из (2.30), получим

(2.39)

Для полупроводниковых приборов характерен так называемый низкий уровень возбуждения, когда избыточная концентрация мно­го меньше равновесной концентрации основных носителей (но мо­жет быть больше концентрации неосновных носителей), т.е., а третье слагаемоев (2.39) пренебрежимо мало. Поэтому для низкого уровня возбуждения вместо (2.39) мож­но написать

(2.40)

где

(2.41)

Решением дифференциального уравнения (2.40) является экс­поненциальная функция

(2.42)

где (0) – начальное значение избыточной концентрации (t = 0).

Постоянную принято называтьвременем жизни неравновес­ных носителей, так как она определяет скорость убывания избыточ­ных концентраций ив процессе возвращения к состоянию рав­новесия. За времяt = значенияиубывают в е = 2,72 раза.

Различают два вида рекомбинации: прямую и ступенчатую, ког­да рекомбинация идет посредством «ловушек», энергетические уровни которых расположены ближе к середине запрещенной зоны. Чем больше концентрация ловушек, тем интенсивнее рекомбина­ция. Доказывается, что в примесных полупроводниках время жизни неравновесных носителей равно времени жизни неосновных носи­телей: в n-полупроводнике , вр-полупроводнике . Вn-полупроводнике оно определяется временем жизни дырок , а в р-полу­проводнике – временем жизни электронов .

Таким образом, вместо (2.40) можно написать:

для n-полупроводника

(2.43)

и для р-полупроводника

(2.44)

Решением (2.43) при начальных условияхбудет

(2.45)

а решением (2.44) при тех же начальных условиях

(2.46)

Зависимости идляп-полупроводника показаны на рис. 2.6. Постоянные времени экспонент равны времени жизни дырок – неосновных носителей вп-полупроводнике.

До сих пор учитывался процесс рекомбинации носителей только в объеме полупроводника. В действи­тельности возможна рекомбинация носителей в приповерхностном слое, сильно зависящая от состояния по­верхности. Этот процесс называютповерхностной рекомбинацией. Скорость этого процесса характери­зуют так называемым поверхност­ным временем рекомбинации . Со­вокупное влияние объемной и по­верхностной рекомбинаций учитыва­ется эффективным временем жизни

(2.47)

Как правило, из-за большого числа ловушек (дефектов) вблизи поверхности, поэтому , т.е. определяется наимень­шим временем жизни.