1.3.2. Центральная предельная теорема

или теорема Ляпунова.

В самой общей формулировке она звучит просто и доходчиво:

распределение вероятностей для суммарной интенсивности (А) достаточно большого количества (р) независимых случайных процессов, влияние каждого из которых на суммарный процесс ничтожно, тем ближе к нормальному, чем больше количество(р) его составляющих..

Интересно рассмотреть вариант этой теоремы, в котором речь идёт о процессах, парциальная интенсивность а₁ , а₂ , а₃ , а₄ , ……и а_р каждогоиз которых являетсятрёхкомпонентнойвеличиной и имеет вид:а_i(x_i ,y_i, z_i).В этом случае имеются три компоненты итогового (суммарного) процесса:

Х = x_i , Y=y_i и Z=z_{i .}.

По условиям теоремы:

- величины а_iдолжны быть независимыми.

- среднее значение каждой их величин а_i- должна быть равна нулю.

• каждая из величин а_iне должна оказывать заметного влияния на общую их сумму(а_i >> а_i).

При выполнении этих условий, вероятность того, что конец суммарного вектора А(XYZ) будет находится в элементарном объёме dXdYdZ,выражается соотношением:

P(XYZ)dXdYdZ=exp[–²X²]xexp[–²Y²]xexp[–²Z²].

Это соотношение, в котором

1/²= 2X² P(X)dX, 1/²=2Y² P(Y)dYи 1/²=Z² P(Z)dZ,

является трёхмерным нормальнымраспределением плотности вероятностей реализации конкретных значений случайной величины А, которая и является мерой интенсивности суммарного процесса.

.

3 Корреляция

3.1 Общие сведения

Словом корреляцияв общем случае обозначают общее (одно на всех) свойство двух и более процессов – свойствовзаимной согласованностидействий, событий и операций, образующих каждый из этих процессов. В конкретных случаях говорят о подобии, взаимной обусловленности и взаимной зависимости, о синхронности, синфазности и когерентности. Два последних термина выше уже упоминались и относятся к свойствам сигналов, Они обозначают полную согласованность (синфазность, синхронность, полная когерентность) двух, например, сигналов или частичную ихкоррелированность. Последнее предложение означает, что корреляция, как конкретное свойство, имеет свою меру – может оцениваться и сравниваться. Это получило отражение и в разговорном языке, Фраза: «Кто в лес, кто по дрова»- эмоциональная приблизительная оценка некоррелированности, полного разлада в действиях.

Точная количественная мера коррелированности различных процессов называется коэффициентом их взаимной корреляции. Она может измеряться и в процентах и изменяется от единицы до нуля (никакого намёка на взаимную согласованность), но потом – снова до минусединицы. Это соответствует вначале сильной взаимной зависимости процессов (синхронности), потом – независимости (предельная самостоятельность и «полный раздрай)и, наконец, снова сильная взаимная связь процессов, которая выражается в полнойпротивоположности тенденцийв рассматриваемых системах, когдаростпараметров в одной системе приводит куменьшениюопределённой группы параметров в другой системе, как в противофазных сигналах.

Точная количественная мера любого свойства, вообще, появляется тогда, когда система или процесс, которые являются носителями этого свойства, описаны математической моделью. Нас интересует корреляция сигналов. Математические модели дискретных (эргодические числовые последовательности) и непрерывных (эргодические ансамбли случайных функций) нам хорошо знакомы. Поэтому мы будем дальше опираться на эти модели. Но начнём мы, для расширения общего кругозора с самого начала.

Понятие корреляции и первые выражения для коэффициента корреляции возникли в той области человеческой деятельности, которая «знает всё». Статистика с самого начала и до сих пор занимается сбором и анализов всевозможных данных и взаимозависимостями между множествами параметров, характеризующих различные, в основном социальные и экономические явления.

Типичная задача статистики – обнаружить взаимосвязь между двумя множествами чисел, например, множеством {Х_i}, которое характеризует прошлогодний снег, множеством {Y_j}, которое характеризуют ожидающиеся цены на кровельные материалы или телятину. Такая связь в итоге выявляется (больше снега – больше протекающих весной крыш – дороже рубероид летом и, наоборот, больше снега – сытнее летние пастбища – дешевле телятина осенью), и мерой этой связи издавна считается дробь

. Эта дробь называется нормированным коэффициентом корреляции, нормированным из-за специально сконструированного знаменателя.

Часто такой знаменатель не нужен, и люди пользуются не нормированным коэффициентом, а другим показателем, за который принимают среднее значение числителя – величину k=, которая изменяется в широких пределах и потому коэффициентом не называется. Но принципиального значения это не имеет. Это дело вкуса и удобства.

21