6. Коды: прямой, обратный, дополнительный, модифицированный

Одним из способов выполнения операции вычитания является замена знака вычитаемого на противоположный и прибавление его к уменьшаемому:

A – B = A + (–B).

Этим операцию арифметического вычитания заменяют операцией алгебраического сложения. Последняя и становится основной операцией.

Для машинного представления отрицательных чисел используют коды прямой, дополнительный, обратный.

Прямой код числа A = – 0, a₁ a₂ ... a_n – машинное изображение этого числа в виде [A]_пр = 1, a₁ a₂ ... a_n.

Из определения следует, что в прямом коде все цифровые разряды остаются неизменными, а в знаковой части записывается единица. Например, если A = – 0,101110, то [A]_пр = 1,101110.

Положительное число в прямом коде не меняет своего изображения. Например, если A = 0,110101, то [A]_пр = 0,110101.

Дополнительный код числа A = – 0, a₁ a₂ ... a_n – машинное изображение этого числа [A]_д = 1, ā₁ ā₂ ... ā_n, для которого ā_i = 0, если a_i = 1, и ā_i = 1, если a_i = 0, за исключением последнего значащего разряда, для которого ā_k = 1 при a_k = 1.

Например, число A = – 0,101110 запишется в дополнительном коде так: [A]_д = 1,010010.

Дополнительный код является математическим дополнением до основания системы счисления:

| A | + [A]_д = q,

где | A | – абсолютное значение числа A.

Обратный код числа A = – 0, a₁ a₂ ... a_n – такое машинное изображение этого числа [A]_об = 1, å₁ å ₂ ... å_n, для которого å_i = 0, если a_i = 1, и å_i = 1, если a_i = 0.

Из определения следует, что обратный код двоичного числа является инверсным изображением самого числа, в котором все разряды исходного числа принимают инверсное (обратное) значение, т. е. все нули заменяются на единицы, а все единицы – на нули, например если A = – 0,101110, то [A]_об = 1,010001.

Следовательно, для обратного кода чисел, представленных в форме с запятой, фиксированной перед старшим разрядом, справедливо соотношение

| A | + [A]_об = q – q^-n,

где | A | – абсолютная величина числа A; n – количество разрядов после запятой в изображении числа.

7. Выполнение арифметических операций с числами с фиксированной и плавающей запятой

Операция сложения чисел в прямом, обратном и дополнительном кодах выполняется на двоичных сумматорах соответствующего кода.

Двоичный сумматор прямого кода (ДСПК) – суматор, в котором отсутствует цепь поразрядного переноса между старшим цифровым и знаковым разрядами, поэтому на ДСПК складываются числа, имеющие одинаковые знаки; сумма чисел имеет знак любого из слагаемых.

Двоичный сумматор дополнительного кода (ДСДК) – сумматор, оперирующий изображениями чисел в дополнительном коде и имеющий цепь поразрядного переноса из старшего цифрового в знаковый разряд. Правила сложения на ДСДК основаны на следующей теореме: сумма дополнительных кодов есть дополнительный код результата.

Двоичный сумматор обратного кода (ДСОК) – сумматор, оперирующий изображениями чисел в обратном коде и характеризующийся наличием цепи циклического переноса из знакового разряда в младший разряд числа. Правила сложения на ДСОК основаны на следующей теореме: сумма обратных кодов есть обратный код результата.

При сложении чисел одинакового знака, представленных в формате с фиксированной запятой, может возникнуть переполнение разрядной сетки. Признаком переполнения разрядной сетки ДСПК является появление единицы переноса из старшего разряда цифровой части числа. Признаком переполнения разрядной сетки ДСДК и ДСОК является знак результата, противоположный знаку операндов.

Умножение чисел, представленных в формате с фиксированной запятой, осуществляется на двоичных сумматорах прямого, обратного и дополнительного кодов.

Существует несколько методов получения произведения двух чисел, все они дают результаты одинаковой точности, но требуют различных аппаратных затрат.

Наиболее распространен метод, по которому произведение получается по следующей схеме: A = 0, a₁ a₂ ... a_n – множимое, а B = 0, b₁ b₂ ... b_n = (... (((b_n x 2^-1 + b_n-1) x 2^-1 + b_n-2) x 2^-1 + ... b₂) 2^-1 + b₁) 2^-1 – множитель, произведение равно С = A x B = (...((b_n x 0.a₁ ... a_n) 2^-1 + b_n-1 x 0.a₁ a₂ ... a_n) 2^-1 + ... + b₁ x 0.a₁ a₂ ... a_n) 2^-1,

что означает, что умножение начинается с младших разрядов множителя и на каждом шаге сдвигается вправо сумма частных произведений.

При умножении чисел представленных в прямом коде, знак произведения определяется отдельно от цифровой части как SgC = SgA  SgB, а цифровая часть формируется на двоичном сумматоре прямого кода. Произведение получается в прямом коде.

При умножении чисел, представленных в дополнительном коде, одновременно получают знаковую и цифровую части произведения. Результат представляется в дополнительном коде только при положительном множителе; при отрицательном множителе для получения результата в дополнительном коде вводится коррекция в виде прибавления [Ā]_д к произведению дополнительных кодов сомножителя.

При умножении чисел в обратном коде знаковая и цифровая части также получаются одновременно, знак формируется автоматически. Произведение обратных кодов дает обратный результат только при положительном множителе; при отрицательном множителе вводится две коррекции:

а) на первом шаге формирования произведения прибавлением поправки [A]_об;

б) на последнем шаге прибавлением к содержимому сумматора [Ā]_об.

При умножении чисел в прямом и дополнительном кодах результат имеет 2n разрядов, где n – число разрядов операндов, и может содержаться соответственно старшая часть произведения – в сумматоре и младшая часть – в освобождающихся разрядах регистра множителя.

При умножении чисел в обратном коде произведение получают сразу со знаком и длиной n разрядов, которые хранятся в сумматоре.

Деление двоичных чисел, представленных в формате с фиксированной запятой представляет последовательные операции алгебраического сложения делимого и делителя, а затем остатков и сдвига. Деление выполняется на двоичных сумматорах дополнительного и обратного кодов. Результат получается в прямом коде. Знаковую и цифровую часть частного получают в прямом коде. Знак частного Sg С = Sg A  Sg B,

где  – операция сложения по mod 2; Sg A – знак делимого A; Sg B – знак делителя B.

Для определения цифр частного C_i используют следующие правила.

Правило 1. Если делимое A и делитель B представлены в соответствии с таблицей 1,

Таблица 1

Sg A	+	+	–	–
Sg B	+	–	+	–
представление операндов	A+	A+B	A+B	A+

где – изменение знака операнда на противоположный, то необходимо сравнивать на каждом шаге знаки делимого A и остатков A_i и принимать C_i = 1, если знаки совпали, и C_i = 0 – при несовпадении знаков A и A_i.

Правило 2. Если делимое A и делитель B представлены в соответствии с табл. 2, то в очередной разряд частного C_i переписывается содержимое знакового разряда сумматора на каждом шаге.

Таблица 2

Sg A	+	+	–	–
Sg B	+	–	+	–
представление операндов	+ B	+	A+B	A+

Необходимым условием выполнения операции деления чисел с фиксированной запятой является | A | < | B |, B  0, в противном случае – переполнение разрядной сетки сумматора.

Для нахождения результата с точностью n разрядов надо найти (n+1)-й разряд частного, а затем округлить результат.

Признаки окончания операции деления:

1. достижение заданной точности;

получение очередного остатка, равного нулю.

11