5. Двоичная арифметика

В выполнении арифметических действий всегда участвуют два числа или более. В результате арифметической операции появляется новое число:

С = A  B,

где  – знак арифметического действия (сложение, вычитание, умножение, деление).

Операнд – число, участвующее в арифметической операции, выполняемой цифровым автоматом.

Так как цифровой автомат оперирует только машинными изображениями

[C] = [A]  [B],

где [ ] – обозначение машинных изображений операндов.

Рассмотрим формальные правила двоичной арифметики операций сложения и вычитания на уровне разрядов операндов. На основе правил двоичной арифметики можно записать правила сложения и вычитания на уровне разрядов операндов.

На основе правил двоичной арифметики можно записать правила сложения двоичных цифр так, как показано в табл. 1, где a_i, b_i – разряды операндов A и B соответственно; c_i – результат сложения (сумма); П_i – перенос из данного разряда в соседний старший.

Двоичный полусумматор – устройство, выполняющее арифметические действия по правилам, указанным в табл. 2.

Таблица 2

ai	bi	ci	Пi
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

Появление единицы переноса при сложении двух разрядов несколько изменяет правила сложения двоичных цифр (табл. 3).

Таблица 3

ai	bi	Пi-1	ci	Пi
0	0	0	0	0
0	1	0	1	0
1	0	0	1	0
1	1	0	0	1
0	0	1	1	0
0	1	1	0	1
1	0	1	0	1
1	1	1	1	1

Обобщая вышеизложенное, можно сформулировать правила поразрядных действий при сложении операндов A и B:

a_i + b_i + П_i-1 = c_i + П_i,

где a_i, b_i – i-й разряд 1-го и 2-го операндов соответственно; c_i – i-й разряд суммы; П_i-1 – перенос из (i–1)-го разряда; П_i – перенос в (i+1)-й разряд (переносы принимают значения 0 или 1).

Двоичный сумматор – устройство, выполняющее арифметические действия по правилам, указанным в табл. 3.

Вычитание двоичных чисел.

На основе правил двоичной арифметики можно записать правила вычитания двоичных цифр так, как показано в табл. 4, где a_i – i-й разряд уменьшаемого; b_i – i-й разряд вычитаемого; c_i – i-й разряд разности; z_i+1 – заем в старшем разряде.

Таблица 4

ai	bi	ci	zi+1
0	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	0
0	1	1	–1

Заем равносилен вычитанию единицы из старшего разряда. С учетом единицы займа из старшего соседнего разряда правила вычитания двоичных цифр можно записать так, как показано в таблице 5 (чтобы отличить заем от переноса, перед единицей поставлен знак минус).

Таблица 5

ai	bi	zi	ci	zi+1
0	0	0	0	0
1	0	0	1	0
1	1	0	0	0
0	1	0	1	–1
0	0	–1	1	–1
1	0	–1	0	0
1	1	–1	1	–1
0	1	–1	0	–1

Если A – уменьшаемое (1-й операнд), B – вычитаемое (2-й операнд), то для поразрядных действий

a_i – b_i + z_i = c_i + z_i+1,

где a_i, b_i, c_i – соответственно i-е разряды уменьшаемого, вычитаемого и разности; z_i – заем из младшего i-го разряда; z_i+1 – заем в старшем (i+1)-м разряде.

Двоичный вычитатель – устройство, выполняющее арифметические действия по правилам, указанным в табл. 5. С точки зрения технической реализации всегда проще сложить два электрических сигнала, чем вычесть их друг из друга. Поэтому двоичные сумматоры являются основным устройством любой ЭВМ. Для того чтобы с их помощью выполнять такие арифметические действия, как вычитание, умножение, деление и др., необходимы соответствующие алгоритмы.