Дисциплина: ИНФОРМАТИКА II-КУРС: Т28, ВМ, АСОИ, САПР

Лекция № 11

Тема: Представление информации в цифровых автоматах

1. Основы представления информации в цифровых автоматах

2. Позиционные системы счисления

3. Методы перевода чисел

4. Форматы представления чисел с плавающей запятой

5. Двоичная арифметика

6. Коды: прямой, обратный, дополнительный, модифицированный

7. Выполнение арифметических операций с числами с фиксированной и плавающей запятой

Лекция № 11

Тема: Представление информации в цифровых автоматах

1. Основы представления информации в цифровых автоматах

2. Позиционные системы счисления

Системой счисления называется совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Любая предназначенная для практического применения система счисления должна обеспечивать:

• возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;

• единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);

• простоту оперирования числами.

Все системы представления чисел делят на позиционные и непозиционные.

Непозиционная система счисления – система, для которой значение символа не зависит от его положения в числе.

Для их образования используют в основном операции сложения и вычитания. Например, система с одним символом-палочкой встречалась у многих народов. Для изображения какого-то числа в этой системе нужно записать количество палочек, равное данному числу. Эта система неэффективна, так как запись числа получается длинной. Другим примером непозиционной системы счисления является римская система, использующая набор следующих символов: I, V, X, L, C, D, M и т. д. В этой системе существует отклонение от правила независимости значения цифры от положения в числе. В числах LX и XL символ X принимает два различных значения: +10 – в первом случае и –10 – во втором случае.

Позиционная система счисления – система, в которой значение символа определяется его положением в числе: один и тот же знак принимает различное значение. Например, в десятичном числе 222 первая цифра справа означает две единицы, соседняя с ней – два десятка, а левая – две сотни.

Любая позиционная система характеризуется основанием. Основание (базис) позиционной системы счисления – количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе.

Для позиционной системы счисления справедливо равенство

(1)

где A_(q) – произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q; a_i – коэффициенты ряда (цифры системы счисления); n, m – количество целых и дробных разрядов.

На практике используют сокращенную запись чисел:

(2)

Например:

а) в двоичной системе (q=2)

11010.101₂ = 1 · 2⁴ + 1 · 2³ + 0 · 2² + 1 · 2¹ + 0 · 2⁰ + 1 · 2^-1 + 0 · 2^-2 + 1 · 2^-3;

б) в троичной системе (q=3)

22120.212₃ = 2 · 3⁴ + 2 · 3³ + 1 · 3² + 2 · 3¹ + 0 · 3⁰ + 2 · 3^-1 + 1 · 3^-2 + 2 · 3^-3;

в) в шестнадцатиричной системе (q=16)

A3F.1CD₁₆ = A · 16² + 3 · 16¹ + F · 16⁰ + 1 · 16^-1 + C · 16^-2 + D · 16^-3.

3. Методы перевода чисел

Числа в разных системах счисления можно представить следующим образом:

где

Значит, в общем виде задачу перевода числа из системы счисления с основанием q₁ в систему счисления с основанием q₂ можно представить как задачу определения коэффициентов b_j нового ряда, изображающего число в системе с основанием q₂. В такой постановке задачу перевода можно решить подбором коэффициентов b_j.

Перевод чисел делением на основание новой системы

Перевод целых чисел осуществляется делением на основание q₂ новой системы счисления, правильных дробей – умножением на основание q₂. Действия деления и умножения выполняются по правилам q₁-арифметики. Перевод неправильных дробей осуществляется раздельно по указанным правилам, результат записывается в виде новой дроби в системе с основанием q₂.

Пример 1. Перевести десятичное число A = 61₁₀ в систему счисления с q = 2.

61 | 2

60 30 | 2

b₀ = 1 30 15 | 2

b₁ = 0 14 7 | 2

b₂ = 1 6 3 | 2

b₃ = 1 2 1 = b₅

b₄ = 1

Ответ: 61₁₀ = 101111₂.