Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Ивановская государственная текстильная академия”

(ИГТА)

Кафедра МТТМ

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему “Расчёт полиномиальных регрессионных однофакторных и многофакторных математических моделей второго порядка по данным экспериментов с факторным планированием ”

по дисциплине “Организация и планирование эксперимента”

Автор Садовская Е.Л.

Специальность 200503 “Стандартизация и сертификация”

Номер зачётной книжки 062033 группа 4и4

Руководитель Зимин С.П.

Работа защищена Оценка

Иваново 2009

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

Студент Садовская Екатерина Леонидовна

Номер зачётной книжки 062033 группа 4и4

Специальность стандартизация и сертификация

Тема

Срок предоставления к защите «» 2009г.

Содержание курсовой работы:

1. Содержание задания

По результатам экспериментальных исследований, приведённых в задачах, требуется:

• определить входные и выходные параметры и стратегию поиска максимальной и минимальной функции;

• определить подходящий вид регрессионной однофакторной модели.

• Рассчитать коэффициент регрессии;

• определить адекватность полученного уравнения, значимость коэффициентов регрессии и их доверительные интервалы;

• произвести аппроксимацию результатов эксперимента на ЭВМ и получить регрессионную однофакторную модель искомой зависимости;

• аналитическим методом рассчитать оптимальное значение функции;

• произвести оптимизацию функции на ЭВМ методами дихотомии, «золотого сечения» и Фибоначчи;

• сравнить полученные значения оптимума функции, рассчитанные различными методами, оценить точность этих методов.

2.1 Содержание задания

По результатам активного факторного эксперимента, приведённым в задаче 2, требуется:

• Провести проверку гипотезы об однородности дисперсий в опытах матрицы с помощью критерия Кочрена;

• Определить коэффициенты регрессии в регрессионной многофакторной модели (РМФМ) и их значимость;

• Провести проверку адекватности полученной математической модели.

Список использованной литературы

Руководитель Зимин С.П.

Задание принял к исполнению Садовская Е.Л.

Содержание курсовой работы:

1. Расчёт регрессионной квадратической параболической однофакторной математической модели второго порядка

1. Содержание задания

2. Расчётный метод

3. Компьютерная обработка данных

2. Расчёт полиномиальной регрессионной многофакторной математической модели второго порядка по данным эксперимента с факторным планированием

1. Содержание задания

2. Расчёт математической модели с помощью полного факторного эксперимента (ПФЭ)

3. Расчёт математической модели по результатам рототабельного центрального композиционного эксперимента (РЦКЭ)

4. Компьютерная обработка данных

Список использованных источников

1. Расчёт регрессионной квадратической параболической однофакторной математической модели второго порядка.

1.1Содержание задания

По результатам экспериментальных исследований, приведённых в задачах, требуется:

• определить входные и выходные параметры и стратегию поиска максимальной и минимальной функции;

• определить подходящий вид регрессионной однофакторной модели.

• Рассчитать коэффициент регрессии;

• определить адекватность полученного уравнения, значимость коэффициентов регрессии и их доверительные интервалы;

• произвести аппроксимацию результатов эксперимента на ЭВМ и получить регрессионную однофакторную модель искомой зависимости;

• аналитическим методом рассчитать оптимальное значение функции;

• произвести оптимизацию функции на ЭВМ методами дихотомии, «золотого сечения» и Фибоначчи;

• сравнить полученные значения оптимума функции, рассчитанные различными методами, оценить точность этих методов.

Задача.

В результате проведённого эксперимента на пневмомеханической прядильной машине установлены зависимости влияния коэффициента крутки ( ) на показатель качества пряжи. Пряжа 25 Текс.

Таблица 1

X Y	Коэффициент крутки ( )
	53.8	57.5	61.0	64.7	66.4	69.1	71.8	74.5	78.9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Разрывная нагрузка пряжи P,сН	240	242	246	250	268	278	268	254	240
	236	240	244	254	272	280	272	250	236
	234	238	240	258	264	284	264	248	232
	236.67	240	243.33	254	268	280.67	268	250.67	236
	9.33	4	9.33	16	16	9.33	16	9.33	16
=105.32

1.2Расчётный метод

Определение всех дисперсий опыта

(Y) = , где m – число повторностей;

– среднее значение в серии.

(Y) = = 9.33

(Y) =

(Y) =

(Y) =

(Y) =

(Y) =

(Y) =

(Y) =

(Y) =

Построение графика данной зависимости

Проверка гипотезы об однородности дисперсий в опытах матрицы (с помощью критерия Кочрена)

,

где - максимальна дисперсия в каком-либо u- том опыте;

- сумма всех дисперсий опыта.

= 0,1519

Т.к. , то гипотеза об однородности дисперсий подтверждается, т.е. опыты равноточные и воспроизводимы.

Определение средней дисперсии выходного параметра в опытах матрицы.

=

Определение дисперсии среднего значения.

Выбор подходящего вида математической модели.

Определение коэффициентов регрессии математической модели. Для рассматриваемой модели нормальные уравнения имеют следующий вид:

При условии, что дисперсии в опытах матрицы однородны, коэффициенты регрессии , , можно определить по МНК. Все необходимые величины сведены в таблицу 2.

Таблица 2

u
1	53.8	2894.44	155720.872	8377782.914	236.67	12732.846	685027.1
2	57.5	3306.25	190109.375	10931289.06	240	13800	793500
3	61.0	3721	226981	13845841	243.33	14843.13	905430.9
4	64.7	4186.09	270840.023	17523349.49	254	16433.8	1063266
5	66.4	4408.96	292754.944	19438928.28	268	17795.2	1181601
6	69.1	4774.81	329939.371	22798810.54	280.67	19394.297	1340145
7	71.8	5155.24	370146.232	26476499.46	268	19242.4	1381604
8	74.5	5550.25	413493.625	30805275.06	250.67	18674.915	1391281
9	78.9	6225.21	491169.69	38753239.54	236	18620.4	1469149
∑	597.7	40222.25	2741154.511	189051015.3	2277.34	151536.988	1021100

Подставляя эти значения в уравнения, получим следующую систему:

Регрессионное уравнение имеет вид:

Определение коэффициентов регрессии в уравнении упрощается, если в матрице планирования эксперимента использовать кодированные значения факторов, и опыты располагаются симметрично относительно основного уровня фактора.

Матрица планирования для кодированных значений фактора X представлена в таблице 3.

Таблица 3

u
1	53.8	-4.016	1	236.67	16.13	-950.4667	3817.4871	260.18
2	57.5	-2.832	1	240	8.01	-679.68	1922.4	64.16
3	61.0	-1.712	1	243.33	2.92	-416.5809	710.5236	8.53
4	54.7	-0.528	1	254	0.28	-134.112	71.12	0.078
5	66.4	0	1	268	0	0	0	0
6	69.1	0.88	1	280.67	0.77	246.9896	216.1159	0.59
7	71.8	1.648	1	268	2.72	441.664	728.96	7.4
8	74.5	2.608	1	250.67	6.80	653.747	1704.556	46.26
9	78.9	4.016	1	236	16.13	947.776	3806.68	260.18
∑	597.7	0.064	9	2277.34	53.76	109.337	12977.843	647.389

Натуральное значение основного уровня фактора:

Интервал варьирования фактора:

Кодированные значения уровней фактора:

Матрица планирования эксперимента (см. таблицу 3) обладает свойством ортогональности ( ). Поэтому решение системы уравнений исключается, следовательно, расчёт коэффициентов регрессии полинома второго порядка

осуществляется следующим образом:

;

;

,

где

B= N .

Подставляя в эти формулы соответствующие значения сумм (из таблицы 3) получаем:

B= 9×647,378 – = 5826,402 – 2890,1376=2936,26

Уравнение в кодированных значениях фактора имеет следующий вид:

Переход от коэффициентов при кодированных значениях фактора к коэффициентам при натуральных значениях фактора осуществляется следующим образом:

Уравнение в натуральных значениях фактора имеет следующий вид:

Проверка адекватности полученной математической модели (В натуральных значениях).

Данные, необходимые для расчёта значения критерия Фишера, сведены в таблицу 4.

Таблица 4

u
1	-4.016	236.67	225.491	11.179	124.97
2	-2.832	240	243.368	-3.368	11.34
3	-1.712	243.33	255.378	-12.048	145.15
4	-0.528	254	262.894	-8.894	79.10
5	0	268	264.565	3.435	11.80
6	0.88	280.67	264.905	15.765	248.54
7	1.648	268	262.412	5.588	31.23
8	1.744	250.67	257.085	-6.415	41.15
9	4.016	236	242.331	-6.331	40.08
∑	0.064	2277.34	2278.429	-1.089	733.36

Находим расчётное значение критерия Фишера:

,

где

– значение выходного параметра для u-го опыта;

- число коэффициентов в уравнении.

< , значит, гипотеза об адекватности найденной математической модели отвергается.

3. Компьютерная обработка данных

Исходные данные

	53.8	57.5	61.0	64.7	66.4	69.1	71.8	74.5	78.9
	236.67	240	243.33	254	268	280.67	268	250.67	236
	227.58	244.76	256.14	263.01	264.39	264.29	261.36	255.61	240.19
Невязка	9.09	-4.76	-12.81	-9.01	3.61	16.38	6.64	-4.94	-4.19

Коэффициенты полинома:

B(0)= - 620.6902051

B(1)=26.1840115

B(2)= - 0.1935297

Коэффициент корреляции R= 0.29

Расчётное значение критерия Фишера F= 19.77

Число степеней свободы 1/-4

Число степеней свободы -4/1

Среднее квадратическое отклонение 6.05

Сумма квадратов отклонений 718.1534423828125

Квадратическая математическая модель после компьютерной обработки имеет вид:

2. Расчёт полиномиальной регрессионной многофакторной математической модели второго порядка по данным эксперимента с факторным планированием.