Пересечение прямой с плоскостью

Задача пересечения прямой с плоскостью сводится к нахождению проекций точки, в которой прямая а пересекается с плоскостью.

Для нахождения искомой точки следует проделать следующие построения (рис. 4.7):

• через данную прямую a провести проецирующую плоскость ;

• построить проекции линий пересечения 1-2 данной плоскости  и вспомогательной ;

• построить проекции точки К, получающейся в пересечении прямых a и 1-2.

Точка К будет искомой, т. к. она принадлежит прямой a и плоскости .

На рис. 4.8 показано нахождение точки встречи прямой a с плоскостью, заданной треугольником ABC, а на рис. 4.9 – с плоскостью, заданной параллельными прямыми b и c.

В первом случае через прямую a проведена горизонтально проецирующая плоскость , а во втором – фронтально проецирующая.

Рис. 4.7	Рис. 4.8

Алгоритм построения точки пересечения прямой с плоскостью (рис. 4.8):

1.Через данную прямую а проводим вспомогательную плоскость , например:  (′):   а и ₁.

2. Строим линию пересечения 1-2 этой вспомогательной проецирующей плоскости  (′) с заданной плоскостью ΔABC: 1–2=Δ∩ω.

3. Строим искомую точку пересечения К (К′, К") данной прямой а с построенной прямой 1–2: К= а∩1–2 Δ К = а∩Δ. Запишем схему решения:

а) ω′ а′, ;₁; б) 1-2 = Δ∩ω; в) К = 1-2∩а.

На рис. 4.10 показано решение той же задачи, когда плоскость задана, следами.

Во всех рассмотренных вариантах задачи видимость прямой a определена методом конкурирующих точек.

Рис. 4.9	Рис. 4.10

Контрольные вопросы по теме лекции:

1. Назовите основные этапы построения линии пересечения двух плоскостей?

2. Построение линии пересечения плоскостей, когда одна из плоскостей занимает частное положение?

3. Назовите основные этапы построения линии пересечения двух плоскостей?

4. Назовите три основных этапа нахождения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения?

5. Как определяют видимость элементов геометрических образов относительно плоскостей проекций?

Лекция № 5

Тема лекции: Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей. (раздел 2)

1. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей

2. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей.

Параллельность плоскостей

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их не продолжали.

На основании положения геометрии, согласно которому параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным линиям, заключаем, что у параллельных плоскостей одноименные следы, а, следовательно, и главные линии, параллельны между собою (рис. 5.1).

Задача. Через данную точку А провести плоскость , параллельную данной плоскости .

Плоскость  задана пересекающимися прямыми а и b (рис. 5.2).

Рис. 5.1	Рис. 5.2

В этом случае достаточно через точку А провести прямые с и d соответственно параллельные прямым а и b.

Согласно элементарной геометрии плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой.