Методичка в РГР по основам автоматики
.pdf
откуда находим K < 5 / 0,5 =10. Таким образом, система устойчива,
если
0 < K <10,
и предельным (критическим) значением коэффициента усиления, при котором система находится на границе устойчивости является
Kкр =10 .
3. При K = Kкр / 4 = 2,5 характеристическое уравнение имеет
вид: |
|
0,5s3 + 2s2 + 2,5s + 2,5 = 0. |
(4) |
Его решение можно получить с помощью программы
>> p = [0.5 2 2.5 2.5]; r = roots(p)
Проанализируйте расположение корней и ответьте на первый вопрос пункта 3 требований.
Для ответа на второй вопрос составьте схему моделирования системы в Simulink по заданной структурной схеме. Схема моделирования может иметь вид, показанный на рис. 2.
|
v1 |
1 |
2.5 |
1 |
1 |
v2 |
|
|
|
||||
|
|
0.5s+1 |
s+1 |
s+1 |
|
|
Step |
|
|
|
|||
|
Transfer Fcn1 |
Gain |
Transfer Fcn2 |
Transfer Fcn3 |
Scope |
Рис. 2. Схема моделирования системы управления движением инвалидного кресла с постоянной скоростью
Проведите эксперимент при и K = 2,5; 5; 10; 15 и на ос-
новании полученных графиков переходных процессов сделайте необходимые выводы.
4. Диаграмма Боде строится по передаточной функции разомкнутой системы:
W (s) =W1(s)W2 |
(s)W3 |
(s) = |
|
|
2,5 |
= |
||
(0,5s +1)(s +1)2 |
||||||||
|
|
2,5 |
|
|
||||
= |
|
|
|
. |
|
|
||
0,5s3 + 2s2 + 2,5s +1 |
|
|
||||||
Программа построения диаграммы Боде при определении запасов устойчивости может иметь вид:
>>W=tf([2.5],[0.5 2 2.5 1]); margin (W)
grid on
7
5. Диаграмма Найквиста также строится по передаточной функции разомкнутой системы.
Программа построения диаграммы Нфйквиста при K = 2,5 и K =15 может иметь вид:
>>K=[2.5 10 15]; for i=1:1:3
W=tf([K(i)],[0.5 2 2.5 1]); nyquist (W)
hold on end
Получить график и сделать выводы об устойчивости.
8
Тема 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 1 |
– Демченко И. |
g1 |
|
|||||
τ1 |
= 0,5 |
с, τ2 |
=1 |
с, τ3 |
= 1 с, |
=1 мм/с. |
||
Вариант 2 |
– Максименко Андрей |
|
||||||
τ1 |
= 0,5 |
с, τ2 |
=1 |
с, τ3 |
= 1 с, |
g1 |
= 2 мм/с. |
|
Сравнить результаты, полученные в вариантах.
Система управления лазерным манипулятором
В хирургии с помощью лазера можно высверлить углубление в берцовой кости для последующего вживления искусственного сустава. Соответствующая установка должна иметь достаточное быстродействие и высокую точность позиционирования. В системе, изображенной на рис. 1, лазерный манипулятор управляется с помощью двигателя постоянного тока.
|
УсилительW (s) |
Двигатель и |
|
(s) |
|
|
манипулятор W |
2 |
|
||
G(s) |
1 |
1 |
|
Y (s) |
|
K |
|
|
|||
|
s(τ1s +1)(τ2s +1) |
• |
|||
|
|
||||
|
|
|
|||
Рис. 1. Система управления лазерным манипулятором |
|||||
В системе используется электродвигатель с постоянной времени обмотки возбуждения τ1 = 0,1 с и с электромеханической по-
стоянной времени (с учетом нагрузки) τ2 = 0,2 с.
Требуется
1.Определить аналитически передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем, передаточную функцию ошибки.
2.Определить значения общего коэффициента усиления K , при которых система устойчива.
3.Коэффициент усиления K выбрать так, чтобы при линейном
входном сигнале g(t) = g1t (где g1 =1 мм/с) установившаяся ошибка eуст не превышала 0,1 мм/с и при этом система оставалась устойчивой.
Некоторые расчеты в методических рекомендациях относятся только к варианту 1
4. Проверить устойчивость системы по расположению корней характеристического уравнения при выбранном коэффициенте K .
5.С помощью диаграммы Боде определить запасы устойчивости системы при выбранном коэффициенте K .
6.Построить диаграмму Найквиста при трех значениях коэффициента K : выбранном, уменьшенном на 50% и увеличенном в два раза. Сделать необходимые выводы об устойчивости.
7.Построить схему моделирования из блоков библиотеки Simulink и найти реакцию системы на линейно возрастающее воздейст-
вие g(t) = g1t при g1 =1 мм/с. Получить график изменения ошибки во времени.
Методические рекомендации
1. Для определения передаточных функций использовать известные соотношения:
передаточная функция разомкнутой системы
W (s) =W1(s)W2 (s);
передаточная функция замкнутой системы
Φ(s) = |
V2 (s) |
= |
|
W (s) |
; |
|
|
1 +W (s) |
|||||
|
V |
(s) |
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
(1)
(2)
передаточная функция ошибки |
|
|
|||
Φe (s) = |
E(s) |
= |
1 |
. |
(3) |
|
1 +W (s) |
||||
|
V1(s) |
|
|
||
2. Для определения предельного коэффициента усиления K применить критерий Гурвица. Для этого необходимо:
1) получить характеристическое уравнение замкнутой системы. Это уравнение можно записать, приравняв нулю знаменатель передаточной функции замкнутой системы Φ(s).
Ответ:
τ1τ2s3 +(τ1 +τ2 )s2 + s + K = 0;
2)составить и раскрыть определитель Гурвица. Получить условие устойчивости.
Ответ:
неравенство
2
a1a2 − a0a3 > 0,
решив |
которое, |
получим условие для |
K : |
0 < K < Kкр. Здесь |
a0 = K; |
a1 =1; |
a2 =τ1 +τ2; a3 =τ1τ2; |
Kкр |
– предельное (крити- |
ческое) значение коэффициента усиления, при котором система находится на границе устойчивости.
3. При выполнении п. 3 необходимо использовать передаточную функцию ошибки замкнутой системы по задающему воздействию
Φe (s). Тогда коэффициент K можно определить по теореме о конечном значении оригинала:
eуст = lim e(t) = lim sE(s) = lim sΦe (s)G(s). |
||||
t→ ∞ |
s→ 0 |
s→ 0 |
||
Подставить передаточную функцию Φe (s) и изображение воз- |
||||
мущения G(s) = |
g1 |
в формулу для установившейся ошибки. Вы- |
||
s2 |
||||
|
|
|
||
числяя предел, найти коэффициент усиления, полагая eуст = 0,1. Ответ:
для варианта 1: K = 9.
4. Проверить устойчивость системы по расположению корней характеристического уравнения при выбранном коэффициенте усиления.
Для варианта 1 характеристическое уравнение имеет вид:
0,02s3 + 0,3s2 + s + 9 = 0. |
(4) |
Его решение можно получить с помощью программы
>> p = [0.02 0.3 1 9]; r = roots(p)
Проанализируйте расположение корней и ответьте на вопрос является ли система устойчивой и почему.
5. Диаграмма Боде строится по передаточной функции разомкнутой системы:
W (s) =W1(s)W2 (s).
Программа построения диаграммы Боде при определении запасов устойчивости может иметь вид (вариант 1):
>>W=tf([9],[0.02 0.3 1 0 ]) margin (W)
grid on
3
Запишите полученные значения запасов устойчивости по амплитуде и фазе.
6. Диаграмма Найквиста также строится по передаточной функции разомкнутой системы.
Например, программа построения диаграммы Найквиста при K = 3, K = 9 и K =15 может иметь вид:
>>K=[3 9 15]; for i=1:1:3
W= tf([K(i)],[0.02 0.3 1 0 ]); nyquist (W)
hold on end
Получить график и сделать выводы об устойчивости системы.
7. Схема моделирования строится по структурной схеме, показанной на рис. 1, и может иметь вид, приведенный на рис. 2.
|
Scope1 |
|
|
|
|
||
|
g |
|
1 |
1 |
y |
|
|
|
K |
1/s |
|
|
|||
|
0.1s+1 |
0.2s+1 |
|
|
|||
Ramp |
e |
Integrator |
Mux |
Scope |
|||
Gain |
Transfer Fcn1 |
Transfer Fcn2 |
|||||
|
|||||||
Рис. 2. 7. Схема моделирования системы управления лазерным манипулятором
Для совместного наблюдения на одном графике регистратора Scope задающего воздействия и реакции системы использован мультиплексор Mux, а для регистрации ошибки – регистратор Scope1. Время моделирования (Stop time) задать равным 5 с. Перед моделированием задать числовое значение K в блоке Gain или в ко-
мандном окне (Command Window).
4
Тема 10
Структурная схема замкнутой системы имеет вид (для всех вариантов):
G(s) |
E(s) |
Регулятор |
Объект |
|
W р ( s) |
W о ( s) |
Y(s) |
||
|
|
• |
||
|
|
|
|
|
|
|
Датчик |
|
|
H ( s)
Требования:
1.Получить частотные характеристики разомкнутой системы.
2.Определить передаточные функции замкнутой системы по задающему воздействию и ошибке.
3.Исследовать устойчивость системы. Найти запасы устойчивости.
4.Получить переходную и импульсную переходную функции замкнутой системы. Если решение неустойчиво, скорректировать систему изменением коэффициента усиления.
5.Определить установившуюся ошибку при ступенчатом воздействии для статической системы и при линейно возрастающем – для астатической.
6.Оценить качество системы по переходной функции. Результат проверить с помощью модели в Simulink.
Все пункты задания выполняются на компьютере.
Вариант 1 – Кондратьев Д.
Система управления перемещением считывающей головки дисковода
Передаточная функция пропорционального регулятора, исполнительного устройства с рычагом управления перемещением считывающей головки дисковода (объекта управления) и цепи обратной связи заданы в виде:
W p (s) = k; Wo (s) = |
1 |
; H(s) =1; k = 0,25. |
|
s(0,05s +1) |
|||
|
|
Вариант 2 – Кулешов Д.
Система управления движением самоходного марсианского аппарата
Передаточная функция пропорционального регулятора, самоходного марсианского аппарата (объекта управления) и цепи обратной связи заданы в виде:
5
W p (s) = k; Wo (s) = |
1 |
; H(s) =1; k = 2. |
|
(s +1)(s + 3) |
|||
|
|
Вариант 3 – Максименко А.
Система управления космической станцией
Передаточная функция пропорционального регулятора, космической станции с интегрирующим корректирующим двигателем (объекта управления) и цепи обратной связи заданы в виде:
W p (s) = k; Wo (s) = |
|
1 |
; H(s) =1; |
|
s(s2 + 2ξω0s + ω02 ) |
||||
|
|
|||
ω0 =10, |
ξ = 0,2; k =1. |
|
||
Вариант 4 – Семочкин М.
Система управления самолетом по углу крена
Передаточная функция пропорционального регулятора, самолета по углу крена (объекта управления) и цепи обратной связи заданы в виде:
W p (s) = k; Wo (s) = δγэ((ss)) = s(s +11,4); H(s) = 1; k = 11,4,
где δэ– угол отклонения элеронов, γ – угол крена.
Вариант 5 – Цымбалюк Т.
Система регулирования температуры
Передаточная функция пропорционального регулятора, объекта регулирования температуры и цепи обратной связи заданы в виде:
W p (s) = k; Wo (s) = |
T o(s) |
= |
1 |
; H(s) =1, |
|
U(s) |
|
(τs +1)(τos +1) |
|||
|
|
|
|
||
где T o– температура в камере; |
|
U – напряжение на нагревателе; |
|||
τо = 2 c – постоянная времени объекта;
τ= 0,5 c – постоянная времени нагревателя; k = 2.
6
Вариант 6 – Чурилов А.
Система управления высотой самолета
Передаточная функция пропорционального регулятора, сервопривода самолета (объекта управления) и цепи обратной связи заданы в виде:
W p (s) =1; Wo (s) = |
δв(s) |
= |
1 |
; H(s) =1, |
|
Uсп(s) |
s(Ts +1) |
||||
|
|
|
где Uсп– напряжение на входе усилителя сервопривода; δв– угол отклонения руля высоты; T = 0,3 c – постоянная времени.
Вариант 7 – Ямщиков А.
Система управления положением спутника
Известно: |
|
|
|
|
||
W р(s) = |
k(s + 2) |
; |
Wо(s) = |
1 |
; H(s) =1; k =10. |
|
s + 4 |
s2 |
|||||
|
|
|
|
|||
7
Рекомендуемая литература
1.Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. – М.: Машино-
строение, 1968. – 764 с.
2.Бабаков М. Ф., Попов А. В., Луханин М. И. Математические модели электронных аппаратов и систем: Учеб. пособие. – Х.: Нац. аэрокосм. ун-т «Харьк. авиац. ин-т», 2003. – 109 с.
3.Бабаков М. Ф., Попов А. В.Методы машинного моделирования в проектировании электронной аппаратуры: Учеб. пособие. – Х.: Нац. аэрокосм. ун-т «Харьк. авиац. ин-т», 2002. – 89 с.
4.Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. – М.:
Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 832 с.
5. Зайцев Г. Ф. Теория автоматического управления и регулиро-
вания. – К.: Вища шк., 1989. – 431 с.
6.Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления: Пер. с англ. – М.: Машиностроение, 1986. – 448 с.
7.Олейник В. П. Терапевтические аппараты и системы: Учеб. пособие. – Х.: Нац. аэрокосм. ун-т «Харьк. авиац. ин-т», 2002. – 94 с.
8.Олейник В. П., Кулиш С. Н. Аппаратные методы исследования в биологии и медицине: Учеб. пособие. – Х.: Нац. аэрокосм. ун-т «Харьк. авиац. ин-т», 2004. – 110 с.
9.Проектирование систем управления на ЭВМ (MATLAB/Simulink /Control System) / Соколов А.Ю., Соколов Ю.Н., Илюшко В.М., Митрахович М.М., Гайсенок Д.Н. ; Под ред. Ю.Н. Соколова. – Х.: Нац. аэрокосм. ун-т «Харьк. авиац. ин-т», 2005. – 590 с.
10. Руководство по проектированию систем автоматического управления: Учеб. пособие для студентов спец. «Автоматика и телемеханика» / Под ред. В. А. Бесекерского. – М.: Высш. шк., 1983. – 296 с.
11.Соколов Ю. Н. Компьютерный анализ и проектирование систем управления: Учеб. пособие: В 3ч. – Х.: Нац. аэрокосм. ун-т «Харьк. авиац. ин-т», 2005. – Ч. 2: Цифровые системы. – 184 с.
12.Соколов Ю. Н. Компьютерный анализ и проектирование систем управления: Учеб. пособие: В 3ч. – Х.: Нац. аэрокосм. ун-т «Харьк. авиац. ин-т», 2006. – Ч. 3: Оптимальные системы. – 184 с.
13.Соколов Ю.Н. Анализ и синтез непрерывных линейных систем управления : Учеб. пособие (на английском и русском языках). – Х.: Нац. аэрокосм. ун-т “Харьк. авиац. ин-т”, 2002. – 118 с.
14.Соколов Ю.Н. Динамические характеристики непрерывных линейных систем управления: Учеб. пособие (на английском и русском языках). – Х.: Гос. аэрокосм. ун-т «Харьк. авиац. ин -т», 2000. – 90 с.
15.Соколов Ю.Н. Компьютерный анализ и проектирование систем управления: Учеб. пособие: В 3ч. – Х.: Нац. аэрокосм. ун-т «Харьк. авиац. ин-т», 2005. – Ч. 1: Непрерывные системы. – 260 с.
16.Соколов Ю.Н. Метод графов в теории управления. – Х.: Гос. аэ-
8