Методичка в РГР по основам автоматики

Тема 6

Вариант 1 – Дробитько Ф.

T = 1,2 с, K y = K = 1

Вариант 2 – Жегло С.

T = 0,5 с, K y = K = 2

Система регулирования температуры в процессе производства деталей из пластмасс

При производстве деталей из пластмасс возникает необходимость регулирования температуры изложницы. Структурная схема

H(s) =1

Рис. 1. Система регулирования температуры

Для обеспечения устойчивости и желаемого качества в системе применен пропорционально-интегральный регулятор (ПИрегулятор).

Требуется

1. Исследовать устойчивость системы, при K y = K = 1 – параметры регулятора, T = 1,2 с – время запаздывания.

2.Методом компьютерного моделирования исследовать реакцию системы на ступенчатое изменение задающего воздействия.

3.Для аппроксимации звена с запаздыванием e−sT дробнорациональной функцией применить разложение в ряд Паде. Получить временную и фазочастотную характеристики звена с запазды-

Некоторые расчеты в методических рекомендациях относятся только к варианту 1

7

ванием до и после аппроксимации. Сравнить качество аппроксимации.

4. Оценить качество работы системы до и после аппроксимации.

Методические рекомендации

1. Для исследования устойчивости применить критерий Найквиста. Передаточную функцию регулятора необходимо представить в виде

W p (s) = K y Ks +1 = 0,1s +1 . s s

Программа построения диаграммы Найквиста с учетом звена с запаздыванием может иметь такой вид:

>>T=1.2;

w=0:0.1:1000;

%вычисление вещественной и мнимой частотных характеристик

[re, im, w ]=nyquist([0.1 1],[ 1 0], w ); re; im;

%частотная характеристика звена с запаздыванием

D1=exp(-j*T*w);

%комплексная передаточная функция разомкнутой системы

Ww=(re +j*im).*D1; %ВЧХ и МЧХ

Wreal=real(Ww); Wimag=imag(Ww); %построение графика АФЧХ plot(Wreal, Wimag)

grid on

title('Nyquist Diagram'); xlabel('ReW(jw)'); ylabel('ImW(jw)'); hold on

hold off

По полученной диаграмме сделать вывод об устойчивости замкнутой системы.

2. Реакцию системы на ступенчатое изменение задающего воздействия можно получить с помощью схемы моделирования, показанной на рис. 2.

8

Рис. 2. Схема моделирования системы регулирования температуры

3. С целью получения дробно-рациональной передаточной функции системы применяют аппроксимацию Паде звена с запаз-

дыванием, используя команду [num,den] = pade(T, n), где num,den –

числитель и знаменатель передаточной функции, получаемый после разложения в ряд Паде (функция pade), T – время запаздывания, n – порядок передаточной функции. Например, при T = 1,2 с

программа определения дробно-рациональной передаточной функции второго порядка может иметь вид:

>> [num,den] = pade(1.2, 2) e=tf(num,den)

num =

1.0000 -5.0000 8.3333 den =

1.0000 5.0000 8.3333 Transfer function:

s^2 - 5 s + 8.333

-----------------

s^2 + 5 s + 8.333

Это значит, что передаточная функция звена с запаздыванием аппроксимируется выражением:

W (s) = e−Ts ≈ s2 − 5s + 8,3333 . s2 + 5s + 8,3333

Временную и фазочастотную характеристики звена с запаздыванием до (пунктирные) и после аппроксимации (сплошные), полученные с помощью функции Паде:

>> pade(1.2, 2) grid on

Step response of 2nd-order Pade approximation

9

Переходную функцию замкнутой системы регулирования температуры, можно получить по схеме рис. 2, если в ней заменить блок Transport Delay блоком Transfer Fcn, показанным на рис. 3.

s2 -5s+8.333 s2 +5s+8.333

Transfer Fcn

Рис. 3. Аппроксимация второго порядка

Получить аналогичные результаты для аппроксимации четвертого порядка.

3. Качество системы оценивается по виду переходной функции.

10

Тема 7

Вариант 1 – Квак А.

fп = 106,1

Вариант 2 – Коломбет А.

fп = 212,2

Синтез фильтра нижних частот

Цель состоит в синтезе низкочастотного фильтра первого порядка, который пропускал бы сигналы с частотой fп = 106,1 Гц и

ослаблял сигналы с частотой выше указанной. Кроме того, фильтр должен иметь коэффициент передачи по постоянному току, равный

1/2.

Вкачестве искомого фильтра может служить двухзвенная цепь

содним реактивным элементом, изображенная на рис. 1. Заметим, что эта схема действительно будет иметь требуемый коэффициент передачи, поскольку конденсатор для постоянного тока представляет собой разомкнутую цепь, а все сопротивления выбраны одинаковыми.

Рис. 1. Фильтр нижних частот

Требуется

1.По электрической схеме получить уравнения фильтра и передаточную функцию.

2.Определить параметры фильтра, соответствующие заданной полосе пропускания.

3.Исследовать свойства фильтра по частотным характеристикам (диаграммы Боде и Найквиста).

4.Исследовать реакцию фильтра на ступенчатое воздействие.

Некоторые расчеты в методических рекомендациях относятся только к варианту 1

1

Методические рекомендации

1. Используя законы Кирхгофа для токов в узле и напряжений в контуре, получить дифференциальное уравнение, связывающее

выходное u3 (t) и входное u1(t) . Применив к полученному урав-

нению преобразование Лапласа показать, что передаточная функция фильтра имеет вид:

2. Определение параметров фильтра, соответствующих заданной полосе пропускания.

Полоса пропускания фильтра ωП является удобным средством

оценки того, в какой области частот он хорошо отрабатывает внешние воздействия. Полоса пропускания примерно определяется частотой, на которой коэффициент усиления принимает значение

– 3дБ от уровня ЛАЧХ на низких частотах (для статических систем), если вся ЛАЧХ расположена ниже оси абсцисс. Чем больше полоса пропускания, тем больше скорость нарастания реакции фильтра на ступенчатый входной сигнал и тем меньше время переходного процесса.

Желаемое значение полюса передаточной функции фильтра, а значит и требуемой полосы пропускания можно записать так:

3. Исследование свойства фильтра по частотным характеристикам.

Для этой цели построить диаграмму Боде, по которой определить полосу пропускания фильтра. Программа построения диаграммы Боде может иметь вид:

>>W=tf([333.5],[1 666.7]); bode(W)

grid on

Отметьте линиями на диаграмме Боде примерное значение полосы пропускания фильтра.

2

Значение логарифмической амплитудно-частотной характеристики на низких частотах можно вычислить с помощью функции: >> 20*log10(0.5).

Диаграмма Найквиста строится по аналогичной программе:

>>W=tf([333.5],[1 666.7]); nyquist(W)

grid on

4. Для исследования реакции фильтра на ступенчатое воздействие примените функцию step и схему моделирования фильтра в Simulink, показанную на рис. 2.

Рис. 2. Схема моделирования фильтра

Окна настройки параметров блоков модели показаны на рис. 3.

Время моделирования (Stop time) задать равным 0,01 с.

3

Тема 8

Вариант 1 – Ковалев П.

τ1 = 0,5 с, τ2 =1 с и τ3 =1 с.

Вариант 2 – Стадниченко И. τ1 =1 с, τ2 = 2 с и τ3 = 3 с.

Система управления движением инвалидного кресла

Новая технология может изменить жизни полностью парализованных людей. Полностью или почти полностью парализованные люди, возможно, скоро смогут передвигаться при помощи собственной мысли. Ученые разрабатывают инвалидное кресло, управляемое импульсами мозга. Пользователи таких кресел будут надевать на голову "шапку" – специальное устройство, снабженное электродами, улавливающими малейшие электрические колебания на поверхности головы. Современная технология позволяет преобразовать эти импульсы в команды, управляющие движением кресла. Эта технология может изменить к лучшему жизни людей, у которых парализованы все конечности.

Разработка инвалидного кресла началась недавно, но опыты ученых уже дают положительные результаты. Пока вся система построена на основе простейшего робота на колесах, подобного радиоуправляемым игрушкам. При помощи специальной электронной "шапки" ученым удалось заставить его двигаться в трех направлениях – налево, направо и вперед. Когда человек хочет двигаться в каком-то направлении, его мозг порождает определенные импульсы. Эти импульсы всегда одинаковы для одного и того же направления движения. Электронная "шапка" улавливает эти импульсы при помощи электроэнцефалографии (ЭЭГ) и передает полученные данные в компьютер. Специальная программа, разработанная учеными, анализирует полученные данные и преобразовывает их в команды, которые затем передаются роботу. Сам робот запрограммирован так, что он начинает движение или поворачивает куда бы то ни было не сразу, а только когда есть такая возможность. Кроме того, в робот встроены инфракрасные датчики, которые распознают различные объекты и помогают роботу избежать с ними столкновения.

Это не первая попытка использовать ЭЭГ в подобных исследованиях, однако все предыдущие опыты заканчивались неудачно. Технология ЭЭГ способна воспринимать ограниченное количество импульсов мозга, поэтому исследователям было сложно добиться четкого восприятия именно тех импульсов, которые соответствуют желанию двигаться. Новая технология, разработанная европейскими учеными, способна воспринимать гораздо больше импульсов

Некоторые расчеты в методических рекомендациях относятся только к варианту 1

4

мозга, что упрощает работу. Кроме того, новая технология оказалась относительно простой в управлении. Эксперименты показали, что новый пользователь может научиться управлять роботом при помощи своих мыслей всего за два дня тренировок.

Весьма оригинальная система проектируется для управления скоростью движения инвалидного кресла на колесах. Структурная схема подобной системы изображена на рис. 1. Датчики скорости, закрепленные на головном уборе под углами 90°, формируют выходные сигналы, пропорциональные амплитуде движения головы, так что человек может отдать команду на движение вперед, назад, влево или вправо. Постоянные времени, полученные по экспериментальным данным, имеют типичные среднестатистические значения: τ1 = 0,5 с, τ2 =1 с и τ3 =1 с.

Рис. 1. Структурная схема системы управления движением инвалидного кресла

В коэффициент усиления K входят коэффициенты передачи датчика и кресла.

Требуется:

1.Определить аналитически передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем, передаточную функцию ошибки.

2.Определить значения общего коэффициента усиления K , при которых система устойчива.

3.Если коэффициент K выбрать равным 1/4 от предельного значения, проверить устойчивость системы по расположению корней характеристического уравнения, и возможно ли в этом случае обеспечить в системе время установления меньше 4 с.

4.С помощью диаграммы Боде определить запасы устойчивости системы при K = 2,5.

5.Построить диаграмму Найквиста при K = 2,5 и K =15 и сделать необходимые выводы об устойчивости.

Методические рекомендации

1. Для определения передаточных функций использовать известные соотношения:

5

2. Для определения предельного коэффициента усиления K применить критерий Гурвица. Для этого необходимо:

1) получить характеристическое уравнение замкнутой системы. Это уравнение можно записать, приравняв нулю знаменатель передаточной функции замкнутой системы Φ(s).

Ответ:

(τ1s +1)(τ2s +1)(τ3s +1) + K = 0,

или

τ1τ2τ3s3 + (τ1τ2 +τ1τ3 +τ2τ3 )s2 + (τ1 +τ2 +τ3 )s + K = 0,

или после подстановки числовых значений постоянных времени будем иметь:

KV = K всегда положителен, то a0 = K > 0, и условием устойчиво-

сти является

a1a2 −a0a3 > 0.

Подставляя сюда значения коэффициентов, имеем

5 − 0,5K > 0,

6