Лекция № 4-5. Тригонометрические понятия в шкм (часть 2)

2. Способы доказательства тригонометрических тождеств

Способ 1. По определению тригонометрических функций.

Пример 1. Основное тригонометрическое тождество.

Докажем, например, основное тригонометрическое тождество: _______________ = 1.

Мы знаем, что sin и cos – это координаты точки единичной окружности (по _________________), значит, они удовлетворяют уравнению окружности с центром в начале координат: х² + у² = 1; х² = ______; у² = ______. Получаем cos² + sin². = 1, что равно sin² + cos² = 1 (по ________________________ закону ________________).

Обсуждение доказательства

Какой способ доказательства рассматривали (использование __________________ __________________________________). Каких функций определение использовалось в данном случае? (_____________________). На каком языке мы проговорили это определение? (на языке ____________________).

Что кроме определения тригонометрических функций использовалось в данном случае? (использовали уравнение _________________________________и радиусом равным _____). Как помогло это уравнение в доказательстве? (от условия «точка с координатами (cos; sin) лежит на единичной окружности» перешли к условию «координаты точки _______________________________»). Почему мы могли сделать такой переход? (по _________________________________).

Пример 2. Формулы приведения.

Признаки распознавания того, что надо использовать формулы приведения: дана тригонометрическая функция, аргумент которой содержит как слагаемое характерную точку: ______

Примеры: _____________________________________________________

Правило применения: Чтобы записать правую часть формулы, используют правило: 1) определить четверть, в которой располагается данный угол; 2) определить знак результата (знак данной функции в этой четверти); 3) определить, меняется данная функция на кофункцию или нет (если характерная точка расположена по вертикали (покиваем головой), то функцию меняем на кофункцию; если характерная точка аргумента расположена горизонтально (качаем головой), то данную функцию не меняем на кофункцию); 4) аргумент у полученной функции записать без использования характерной точки.

Задание

Пусть дано выражение sin( +). Примените правило, чтобы записать правую часть:

sin( + ) = ____________

Задание

Примените правило для всех составленных примеров:

1)

2)

3)

4)

Докажем, тождество sin( –) = sin.

Схема доказательства	Результат
1. Построим на единичной окружности: ,  –, М , М –, sin и sin( –) и сформулируем задачу на языке координат.	З  О О адача: доказать, что _________ точек М , М – равны
2. Проведем доказательство для знаков соответствующих координат. Докажем, что знаки соответствующих координат одинаковые (для других тождеств требуется доказать, что знаки являются противоположными).	Построенные точки лежат в одной полуплоскости относительно оси Ох, значит, их ____________________ имеют одинаковый знак.
3. Докажем, что модули соответствующих координат одинаковые.	 __МО =  __М–О по _______________ и ________ углу , значит, М__ = М–___, т.е. модули ________________ равны.

!!Самостоятельно доказать любую другую формулу приведения по той же схеме.

Пример 3. Четность-нечетность тригонометрических функций.

Верны следующие тождества:

sin(–) = – sin (знак «минус» можно выносить из под знака синуса);

cos(–) = cos (знак «минус» можно опустить под знаком косинуса);

tg(–) = – tg (знак «минус» можно выносить из под знака тангенса);

ctg(–) = – ctg (знак «минус» можно выносить из под знака котангенса).

!!Самостоятельно доказать любое из перечисленных тождеств по той же схеме.

.

Способ 2. Равносильные преобразования верного равенства.

Пример 4. Тригонометрические тождества одного аргумента, которые можно доказать, используя основное тригонометрическое тождество.

Равносильное преобразование: деление обеих частей равенства на число, отличное от 0.

Если обе части основного тригонометрического тождества разделить на cos²х,

то получится тождество _______________________________________________

Пример 5. Формулы понижения степени.

Равносильное преобразование: замена выражения тождественно равным выражением.

Если в тождестве косинуса двойного аргумента выразить квадрат синуса через косинус по основному тригонометрическому тождество, то можно получить формулу понижения степени косинуса.

cos2х = _______________; cos2х = cos²х – (_________);

cos2х = ____________________; 2cos²х = _____________;

cos²х =

!!Самостоятельно доказать формулу понижения степени синуса.

Способ 3. Координатно-векторный метод.

Пример 6. Формула косинуса разности двух углов.

cos (–) = cos  cos + sin  sin

Схема рассуждений	Результат
1. Построим на единичной окружности: , ; М , М;  –  и сформулируем задачу на языке координатно-векторном языке.	З  М М  О  – адача: найти косинус угла между векторами ОМ, ОМ
2. Найдем косинус угла между векторами ОМ, ОМ координатным способом	Вектор ОМимеет координаты: (________); Вектор ОМ имеет координаты: (________) cos (–) = cos  cos + sin  sin

Способ 4. Сведение к известному.

Если  +  заменить на  – (–), то можно использовать формулу тригонометрической функции разности аргументов.

Пример 7. cos ( + ) = cos ( – (–)) = ___________________________________________.

Для доказательства формул двойного аргумента 2 заменяют  +  и применяют формулу тригонометрической функции суммы аргументов.

Пример 8. cos 2 = cos ( + ) = ___________________________________________.

Если sin заменить на cos (/2 – ), то можно использовать формулу, доказанную для косинуса; если cos  заменить на sin (/2 – ), то можно использовать формулу, доказанную для синуса.

Пример 9. sin ( + ) = cos (/2 – ( + )) = ________________________________________

_______________________________________________________.

Если  –  заменить  + (–), то можно использовать формулу тригонометрической функции суммы аргументов.

Пример 10. sin ( – ) = sin ( + (–)) = ___________________________________________.

Для доказательства формулы произведения тригонометрических функций используют сложение (вычитание) известных тождеств о тригонометрической функции суммы и разности аргументов.

Докажем, например, тождество, в котором участвует произведение синусов.

Схема рассуждений	Результат
1. Произведение синусов участвует в формулах косинуса суммы, косинуса разности. Запишем эти тождества.	cos ( – β) = ______________________ cos ( + β) = _______________________
2. Чтобы «подобраться» к произведению синусов, вычтем из первого равенства второе.	cos ( – β) – cos ( + β) = _______________
3. Выразим из полученного равенства нужное произведение.	sin sin β = __________________________

!!Самостоятельно доказать по той же схеме любое тождество из группы произведения тригонометрических функций.

Способ 4. Введение новых переменных.

Формулы суммы (разности) тригонометрических функций доказываются с введением новых переменных.

Схема рассуждений	Результат
1. Сумма тригонометрических функций участвует в формулах произведения тригонометрических функций. Выберем нужную формулу.	Пусть требуется найти сумму синусов. Выберем формулу: sin cos β = ( sin ( + β) + sin ( – β))
2. Введем новые переменные:  +  = х;  –  = у. Тогда надо выразить  и  через новые переменные. Сложение равенств дает _____ = ______; вычитание равенств дает _____ = ______; откуда: ,	sin____cos ______= ( sin ___ + sin ____)
3. Выразим из полученного равенства нужную сумму	sin х + sin у = ________________

!!Самостоятельно доказать по той же схеме любое тождество из группы суммы (разности) тригонометрических функций.