.3. Метод состояний

Метод состояний является наиболее универсальным методом оценки надежности электронных систем. Он трудоемок, но имеет существенное преимущество перед рассмотренными ранее методами, так как позволяет оценивать надежность систем с учетом восстановлений в процессе эксплуатации. При проектировании современных электронных систем, как уже отмечалось, для повышения надежности предусматриваются различные виды резервирования. При эксплуатации это будет приводить к тому, что система будет оставаться работоспособной, переходя случайным образом во времени из одного работоспособного состояния в другое, до состояния отказа с последующим восстановлением и возвращением вновь в работоспособное состояние. При этом следует учитывать возможное восстановление отказавших структурных единиц системы, когда система еще работоспособна. Каждому состоянию такой системы в данный момент времени будут соответствовать определенные показатели надежности. Метод состояний позволяет определить вероятности нахождения системы в различных состояниях. От этих вероятностей можно перейти не только к интересующим надежностным показателям системы, но и к другим важным ее показателям, таким как пропускная способность.

.3.1. Применение метода состояний к восстанавливаемой системе без резервирования

Для уяснения сути метода состояний воспользуемся простейшим примером. Пусть имеется простая восстанавливаемая система, принимающая в процессе эксплуатации лишь два состояния: 1 - работоспособное состояние, 2 - состояние отказа. Обозначим вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии через , а в состоянии отказа – через . Пусть интенсивность отказов системы будет , а интенсивность восстановления - . Такую систему можно отобразить в виде графа с двумя вершинами и двумя дугами (рис.5). Стрелки на дугах указывают направления переходов с интенсивностями и от одной вершины графа к другой.

Рис.5. Граф восстанавливаемой системы

Пусть в момент времени система находится в состоянии 1. Вероятность остаться в работоспособном состоянии 1 за бесконечно малое время для системы, очевидно, будет равна:

. (.6)

Принимая во внимание то, что , после разложения в ряд получим

, (.7)

где – величина второго порядка малости.

Если же в момент времени система находилась в состоянии 2, то, аналогично рассуждая, можно найти вероятность ее перехода за время в состояние 1 в виде

. (.8)

Используя (.7) и (.8), определим вероятность того, что система будет в момент времени находиться в состоянии 1:

. (.9)

Определим приращение вероятности нахождения системы в состоянии 1 за время :

(.10)

От (.10) перейдем к уравнению вида

,

а от него к дифференциальному уравнению

, (.11)

которое отображает изменчивость во времени вероятности нахождения системы в работоспособном состоянии 1.

Аналогично рассуждая, получим дифференциальное уравнение, отвечающее неработоспособному состоянию системы – состоянию 2:

. (.12)

Для случая произвольного графа отображающего какую-то систему в пространстве состояний, можно придерживаться следующей формальной методики составления дифференциального уравнения для -го состояния:

• в левой части уравнения всегда помещают производную ,

• в правой части располагают алгебраическую сумму слагаемых вида: и , где - интенсивность перехода из рассматриваемого -го состояния в некоторое состояние , - интенсивность перехода из некоторого состояния в рассматриваемое -е состояние.

Итак, значения вероятностей и являются решениями системы дифференциальных уравнений (.11) и (.12), для решения запишем ее в традиционном виде:

,

. (.13)

Предположим, что при система находилась в работоспособном состоянии, то есть в состоянии 1. Этим определяются начальные условия, необходимые для решения системы (13): и .

Решим систему с помощью операторного метода. Для этого представим систему (.13) в операторной форме. Учитывая, что

,

,

,

,

для системы (.13) получим

(.14)

где – оператор Лапласа, – преобразование по Лапласу.

Решение для системы (14) осуществляется традиционно через определители:

, (.15)

, (.16)

где

, (.17)

, (.18)

, (.18)

После подстановки (.17), (.18), (.19), в (.15) и.16), получим

, (.20)

. (.21)

Используя таблицы обратных преобразований по Лапласу], от изображений (.20), (.21) переходим к оригиналам

(.22)

. (.23)

вероятность нахождения восстанавливаемой системы или устройства в работоспособном состоянии называется ее коэффициентом готовности - . Таким образом, для рассматриваемой здесь системы,

. .24)

Или для достаточно большого интервала времени , когда , можно вторым слагаемым в скобках выражения (4.24) пренебречь и тогда

. (.25)

Учитывая то, что в данном случае , а переходим от (.25) к выражению

,

Аналогично вероятность P₂(t) может быть интерпретирована, как коэффициент простоя – . При условии , получаем

, (.26)

Или, учитывая, что , а ,

.

Рис6. Граф невосстанавливаемой системы

Легко убедиться, что метод состояний справедлив и для невосстанавливаемых систем. Невосстанавливаемой системе отвечает простейший граф (рис.6), который получен из графа на рис.5, при интенсивности восстановлений . Применительно к графу на рис. 6, интерпретируется как вероятность безотказной работы системы, а – как вероятность ее отказа . Действительно, подставляя в формулы.22) и (.23) значение , получим

,

,

что полностью соответствует невосстанавливаемой системе.