Оценка надежности электронных устройств и систем сложной структуры .1. Метод свертки

В общем случае радиоэлектронные устройства и системы с резервированием представляют собой сложные последовательно-параллельные структуры. При расчете надежности таких устройств используют метод, позволяющий перейти к структуре последовательно соединенных элементов. Метод основан на замене нескольких параллельно соединенных элементов структуры одним элементом с эквивалентной надежностью учитывающей параллельность соединения. Таким образом, сложная структура «сворачивается» постепенно в простую последовательную структуру. Поэтому такой метод и называется методом свертки.

Проиллюстрируем метод с помощью сворачивания структуры, изображенной на рис..1, а. Обозначим вероятности безотказной работы структурных элементов У1, У2, …, У11 за некоторое время t, как , а вероятности их отказов соответственно. Выделим узлы, состоящие из параллельно соединенных элементов: узел 1 - элементы УЗ, У4, У5; узел 2 - элементы У7, У8; узел 3 - элементы У9, У10, У11. Найдем вероятности отказа, этих узлов:

.

Вероятность их безотказной работы соответственно будет:

.

Рис.1. Принцип сворачивания структуры системы

Осуществим первую свертку в структуре, заменив узлы 1, 2, 3 эквивалентами с вероятностями безотказной работы . Трансформированная структура изображена на рис..1, б. Она содержит один узел, состоящий из двух параллельных ветвей. Ветвь 1 - элементы У2, У6, ветвь 2 - элементы У(3-5), У(7-8). Вероятности безотказной работы этих ветвей:

; ,

а вероятности отказа:

; .

Осуществим вторую свертку, заменяя ветвь 1 и ветвь 2 эквивалентами с вероятностями отказа . В новой структуре (рис..1, в) имеется лишь один узел, вероятность отказа которого

,

а вероятность безотказной работы соответственно

.

Осуществляем третью свертку, заменяя узел У(2-6), У(3-8) эквивалентом с вероятностью безотказной работы . В результате приходим к простой последовательной структуре (рис..1, г). Таким образом, вероятность безотказной работы системы с исходной структурой (рис..1, а) может быть определена как

,

а вероятность отказа соответственно

.

В некоторых случаях не удается непосредственно с помощью метода свертки перейти к простой последовательной структуре. Это относится к сложным структурам с перекрестными связями. Для них применяют другие методы, рассматриваемые далее.

.2. Логико-вероятностный метод

В ряде случаев, устройство или систему невозможно представить структурно состоящей из параллельно-последовательных соединений. Особенно это относится к цифровым электронным информационным системам, в которых для повышения надежности вводятся перекрестные информационные связи. На рис.2 изображена часть структуры системы с перекрестными связями (стрелки показывают возможные направления перемещения информации в системе). Для оценки надежности структур с перекрестными связями действенным оказывается логико-вероятностный метод.

Рис.2. Система с перекрестными связями

В методе работоспособное состояние структуры предлагается описывать с помощью аппарата математической логики с последующим формальным переходом к вероятности безотказной работы оцениваемой системы или устройства. При этом через логическую переменную обозначают событие, заключающееся в том, что данный -й элемент структуры работоспособен. Формально работоспособное состояние всей системы или устройства отображается логической функцией, называемой функцией работоспособности. Для нахождения этой функции необходимо определить, следуя от входа к выходу структуры системы, все пути движения информации, отвечающие работоспособному состоянию системы.

Например, для структуры рис..2 таких путей – четыре. Путь 1-У1У3У7. Путь 2-У1У5У8. Путь 3-У2У6У8. Путь 4-У2У4У7.

Зная все пути, отвечающие работоспособному состоянию структуры, нетрудно записать в символах алгебры логики в дизъюнктивно-конъюиктивной форме функцию работоспособности.

Например, для рис..2 функция работоспособности

Применяя известные методы минимизации, логическую функцию работоспособности (если имеется возможность) упрощают и переходят от нее к уравнению работоспособности системы в символах обычной алгебры. Осуществляется такой переход формально с использованием известных соотношений (слева логическая запись, справа – алгебраическая):

, (.1)

, (.2)

. (3)

Вероятность безотказной работы устройства или системы в целом определяется формальной подстановкой в алгебраическое выражение функции работоспособности вместо переменных значений вероятностей безотказной работы каждого -гo элемента структуры.

Проиллюстрируем применение логико-вероятностного метода на двух примерах.

Пример 1. Найдем в общем виде вероятность безотказной работы устройства, структура которого представлена на рис..3. Для наглядности проинтерпретируем назначение элементов структуры. Элементы У1, У2 – два одинаковых равнонадежных запоминающих устройства (ЗУ) с вероятностью безотказной работы . Элементы У3, У4 – два одинаковых равнонадежных процессора с вероятностью безотказной работы . Элемент У5 – блок, обеспечивающий двустороннюю передачу цифровых данных. Вероятность безотказной работы этого блока - .

Рис.3. Мостиковая структура

Для нахождения логической функции работоспособности устройства выделим в его структуре возможные пути прохождения информации от входа к выходу и представим это условие в виде:

У1У3 или У1У5У4 или У3У4

или У2У5У3. (.3)

Перейдем от (4.3) к функции работоспособности в символах алгебры логики:

. (.4)

Учитывая (1), (.2), (.3), осуществляем формальный переход от записи (.4) к алгебраической форме записи:

(.5)

От (.5) переходим к вероятности безотказной работы всего устройства путем формальной замены на . При этом, опуская аргумент и принимая во внимание, что и , получим окончательно:

.

Пример 2. Применим логико-вероятностный метод для оценивания вероятности безотказной работы устройства с раздельным резервированием (рис.4). Пусть исходно задано, что все элементы устройства равнонадежны и обладают вероятностью безотказной работы . Запишем функцию работоспособности устройства в символах алгебры логики:

.

Переходим к традиционной алгебраической форме записи:

Рис4. Система с раздельным дублированием

Осуществляем формальный переход к вероятности безотказной работы всего устройства:

.

Применим для этого же примера метод свертки. Рассматриваемое устройство имеет два узла из параллельно соединенных элементов. Вероятность безотказной работы узла из элементов У1, У3:

.

Вероятность безотказной работы узла из элементов У2, У4:

.

Вероятность безотказной работы всего устройства:

или .

Как и следовало ожидать, результат получился таким же, как и при применении логико-вероятностного метода.