![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Скалярное произведение векторов
- •2. Векторное произведение векторов
- •3. Смешанное произведение векторов
- •Аналитическая геометрия
- •1. Прямоугольная система координат
- •Полярная система координат
- •Прямая на плоскости Различные виды уравнения прямой
- •У равнение прямой с угловым коэффициентом:
- •О бщее уравнение прямой:
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку в
- •Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •Нормальное уравнение прямой:
- •У равнение прямой в полярных координатах:
- •Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, пересечение прямых
- •Расстояние от данной точки до данной прямой
- •Плоскость в пространстве Различные виды уравнения плоскости
- •У равнение плоскости, проходящей через
- •О бщее уравнение плоскости:
- •Нормальное уравнение плоскости:
- •Расстояние от данной точки до данной прямой
- •П рямая в пространстве Различные виды уравнения прямой в пространстве
- •К анонические уравнения прямой,
- •Параметрические уравнения прямой, проходящей через
- •Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •Прямая и плоскость в пространстве
- •Кривые второго порядка
- •Окружность
Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых
Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями
и
Под углом
между
прямыми понимается
угол между направляющими векторами
=
{m1,
n1,
p1}
и
=
{m2,
n2,
p2}:
cos
φ
=
.
Острый угол между прямыми:
cos
φ
=
.
Условие
параллельности прямых L1
и L2:
.
Условие перпендикулярности прямых L1 и L2:
m1 m2 + n1n2 + p1 p2 = 0.
Прямые совпадают, когда и точка (x1; у1; z1) L2 и, наоборот, точка (x2; у2; z2) L1.
Условие, при котором прямые L1 и L2 лежат в одной плоскости:
= 0.
П
ри
этом, если
,
то прямые L1
и L2
пересекаются.
Получаем: t =
из первого уравнения, t
=
из второго, t = –1
из третьего. Это означает, точка М (2,
0, -1) не принадлежит второй прямой;
прямые не совпадают, значит,
они параллельны.
m,
n, p
– координат направляющего вектора
этой прямой согласно условию
перпендикулярности прямых запишем
Прямая и плоскость в пространстве
Угол между
прямой
и плоскостью
Ах + Ву + Сz + D = 0:
sin
φ
=
.
Условие параллельности прямой и плоскости: Аm + Вn +Сp = 0.
Условие
перпендикулярности прямой
и плоскости:
.
Для
нахождения точки пересечения прямой
и плоскости
удобно
воспользоваться параметрическими
уравнениями прямой
.
Подставив х,
у
и z
в уравнение
плоскости
А(х0
+ m
t)
+ В(y
0
+ n
t)
+ С(z
0
+ p
t)
+ D
= 0, находим значение t
= tр
. Координаты
точки пересечения: .
.
Условие, при котором прямая лежит в плоскости:
.
Если Аm + Вn + Сp ≠ 0, то прямая пересекает плоскость;
если Аm + Вn + Сp = 0 и Ах0 + Вy 0+ Сz 0 + D ≠ 0 – прямая параллельна плоскости.
решая
систему
Из равенства (3 + t) – 2(4 – 2t) + (5 + t) – 6 = 0 вытекает равенство 6t – 6 = 0,
вектора
прямой и нормального вектора
плоскости не пропорциональны, то прямая
не перпендикулярна плоскости.
Кривые второго порядка
Линии, определяемые уравнениями
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, (1)
называются кривыми второго порядка. Данное уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.
Окружность
О
кружность
– множество всех точек плоскости,
удаленных от заданной точки А плоскости – центра
о
кружности
– на одно и то же расстояние R
– радиус
окружности.
В прямоугольной системе координат уравнение окружности (каноническое уравнение окружности):
(x – a)2 + (y – b)2 = R2,
где (a, b) – координаты ее центра.
В частности, если a = 0, b = 0 (центр совпадает с началом координат), то уравнение окружности имеет вид:
x2 + y2 = R2.
Общее уравнение второй степени (1) определяет окружность, если А = С ≠ 0 и В = 0.
Пример 1. Найти координаты центра и радиус окружности:
а) х2 + у2 – 4х + 8у – 16 = 0; а) 9х2 + 9у2 + 42х – 54у – 95 = 0.
• а) Выделяем полные квадраты в левой части уравнения:
х2 + у2 – 4х + 8у – 16 = х2– 4х + 4 – 4 + у2 + 8у + 16 – 16 – 16 = (х – 2) 2 + (у + 4) 2 = 62.
Центр окружности находится в точке О(2; -4), а радиус равен 6.
б) Разделив обе части уравнения
на 9, найдем х2
+ у2
+
х
– 6у –
=
0. Выделяем полные квадраты по х и по
у в левой части уравнения:
х2
+
х
+
+
у2 –
6у + 9 –
–
9 –
= (х +
)2
+ (у – 3)
2
= 52.
Центр окружности находится в точке О(– ; 3), а радиус R = 5.
Пример 2. Написать уравнения касательных к окружности х2 + у2 – 6х + 4у – 12 = 0,
проведенных из точки М (0; 3).
• Уравнения касательных должны иметь вид (в виде уравнений прямых с угловым коэффициентом) y = kx +3. Уравнение окружности приведем к каноническому виду, выделяя полные квадраты по х и по у :
х2 + у2 – 6х + 4у – 12 => (х – 3) 2 + (у + 2) 2 = 25.
Для нахождения общих точек прямой
и окружности надо решить систему
уравнений
.
Имеем: (х – 3)
2
+ (kx +3 + 2)
2
= 25, т.е.
х2–
6х + 9 + k2x2
+ 10kx + 25 = 25, поэтому
(k2
+ 1) x2
+ (10k – 6) x
+ 9 = 0. Т.к. прямая касается окружности,
то это уравнение имеет единственное
решение. Следовательно, его
дискриминант равен нулю, т.е. (5k
– 3) 2
– 9(k2
+ 1) = 0, откуда k1
= 0, k2
=
.
Значит, у = 3 и у
=
х
+ 3 – искомые уравнения.
Пример 3. Написать уравнение окружности, проходящей через точки
(–1; 3), (0; 2), (1; –1).
• Уравнение окружности ищем в виде (х – a)2 + (у – b) 2 = R2. Подставляя в это уравнение координаты данных точек, получим три уравнения для определения
a, b
и R:
.
Из первых двух уравнений получаем (–1
– a)2
+ (3 – b)
2
= a2
+ (2 – b)
2,
т.е. 1 + 2a + a2
+ 9 – 6b + b2
= a2
+ 4 – 4b + b2
, поэтому
a – b = –3; из второго и третьего уравнений системы получаем
a2
+ (2 –
b)
2
= (1 – a)2
+ (–1 –
b)2,
отсюда a – 3b
= –1. Решая систему
уравнений
,
находим a = –4,
b = –1. Подставляя
эти значения a и
b во второе
уравнение первоначальной системы,
находим: 16 + 9 = R2,
т.е. R2
= 25.
Т.о., искомое уравнение есть (х + 4)2 + (у + 1)2 = 25.
Эллипс
Эллипс
– множество точек плоскости,
с
умма
расстояний от каждой из которых до
д
вух
данных точек – фокусов
эллипса –
в
еличина
постоянная, большая, чем
р
асстояние
между фокусами.
Каноническое уравнение эллипса:
+
= 1,
(2)
а – большая полуось, b – малая полуось эллипса.
Координаты фокусов: F1(-c; 0), F2(c; 0), где с – половина расстояния между фокусами. Числа a, b и c связаны соотношением: с2 = а 2 – b2.
Точки A, B, C, D – вершины эллипса, точка О – центр эллипса, расстояния r1 и r2 от произвольной точки М эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки.
Эксцентриситетом
эллипса
называется отношение ε
=
(ε
< 1, т.к. с
< а
).
Фокальные радиусы: r1 = а + εх, r2 = а – εх (r1 + r2 = 2а).
Директрисами
эллипса называются прямые l1
и l2
параллельные малой оси и отстоящие от
нее на расстоянии, равном
;
уравнения директрис: х
= –
,
х
=
.
Если а = b, то уравнение (2) определяет окружность x2 + y2 = а2.
Если фокусы эллипса лежат на оси Оу, то эллипс имеет вид,
и
зображенный
на рисунке. В этом случае:
b
> a,
с2
= b
2
– a2,
ε =
,
уравнения директрис у
=
.
Уравнение эллипса с осями, параллельными
к
оординатным:
+
= 1,
г
де
(х0;
у0)
– координаты центра эллипса.
Параметрические уравнения эллипса:
,
t
[0;
2π].
t – угол между осью Ох и прямой ОМ, соединяющей
центр эллипса с его точкой М.
Пример 4. Показать, что уравнение 4х2 + 3у2 – 8х + 12у – 32 = 0 определяет эллипс,
найти его оси, координаты центра и эксцентриситет.
• Преобразуем данное уравнение кривой (выделяем полные квадраты по х и по у в левой части уравнения):
4х2 + 3у2 – 8х + 12у – 32 = 4(х2– 2х + 1 – 1) + 3( у2 + 4у + 4 – 4) – 32 = 4(х – 1)2 + 3(у + 2)2 = 48,
т.е.
+
=
1. Получили каноническое уравнение
эллипса, центр симметрии которого имеет
координаты (1; –2). Из уравнения
находим: а2
= 12,
а = 2
и b2
= 16, b = 4 (b
> a). Поэтому с
=
=
=
2. Эксцентриситет эллипса ε
=
=
.
Пример 5. Дано уравнение эллипса 24х2 + 49у2 = 1176. Найти
длины его полуосей;
координаты фокусов;
эксцентриситет эллипса;
уравнения директрис и расстояние между ними;
точки эллипса, расстояние от которых до левого фокуса F1 равно 12.
• Разделив правую и левую части
уравнения на 1176, получим каноническое
уравнение эллипса:
+
=
1.
1) Отсюда а2
= 49, b2
= 24, т.е. а = 7, b
= 2
.
2) с =
=
=
5. Следовательно, F1
(–5; 0) и F2
(5; 0).
3) a > b
= > ε =
=
.
4) Уравнения директрис имеют вид:
х = ±
=
±
=
±
.
Расстояние между ними d
=
–
=
=
19,6.
5) По формуле r1
= a + ε x
находим абсциссу точек, расстояние от
которых до точки F1
равно 12: 12 = 7 +
х,
т.е. х = 7. Подставляя значение
х в уравнение эллипса, найдем
ординаты этих точек: 24 · 49 +
49у2
= 1176, 49у2
= 0, у = 0.
Условию задачи удовлетворяет точка А (7; 0).
Пример 6. Составить уравнение эллипса, проходящего через точки А(2; – 4 ) и
В(–1; 2
).
• Уравнение эллипса ищем в виде
+
=
1. Подставляя в это уравнение координаты
данных точек, получим два уравнения для
определения a и
b:
+
=
1 и
+
=
1. Умножая второе уравнение на (–4)
и складывая с первым, находим –
=
–3, т.е. b2
= 64. Подставляя полученное значения
b2
в первое уравнение, получаем
+
=
1, откуда а2
= 16.
Т.о., искомое уравнение эллипса есть
+
=
1.
Пример 7. Найти уравнение касательной
к эллипсу
+
=
1 перпендикулярно
прямой х – у + 50 = 0.
• Уравнение касательной должно иметь вид (в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом) y = kx + с.
Угловой коэффициент k найдем из условия k · k1 = –1 перпендикулярности прямых, где k1 – угловой коэффициент прямой х – у + 50 = 0. Т.к. k1 = 1 (у = х + 50), то
k = –1, уравнение
касательной к эллипсу имеет вид у =
–х + с. Общие точки прямой и эллипса
находим, решая систему уравнений
.
Получаем
+
=
1, т.е. 5х2
– 8сх + 4с2
– 20 = 0. Уравнение имеет единственное
решение (прямая касается эллипса,
т.е. имеет с ним единственную общую
точку) лишь в случае, когда его
дискриминант равен нулю, т.е.
64с2 – 4 · 5(4с2 – 20) = 0 или 4с2 – 5(с2 – 5) = 0. Значит, есть два решения:
с1 = 5 и с2 = -5. Условию задачи удовлетворяют две касательные:
у = –х + 5 и у = –х – 5.
Пример 8. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Оу, а малая
ось равна 2 . Каждый из фокусов равноудален от центра эллипса и от
ближайшего конца фокальной оси.
• Уравнение эллипса имеет вид
+
=
1, b > a.
По условию задачи 2а = 2
,
т.е. а =
,
и с =
.
Т.к. с2
= b2
– a2,
то получаем:
=
b2
– 3, т.е. b2
= 4. Т.о., уравнение эллипса есть
+
=
1.
Гипербола
Гиперболой
называется множество точек
п
лоскости,
модуль разности расстояний от
к
аждой
из которых до двух заданных точек –
ф
окусов,
есть величина постоянная, меньшая,
чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы:
– = 1, (3)
а – действительная полуось, b – мнимая полуось гиперболы.
Координаты фокусов: F1(-c; 0), F2(c; 0), где с – половина расстояния между фокусами. Числа a, b и c связаны соотношением: с2 = а 2 + b2 .
Точки A и B – вершины гиперболы, точка О – центр гиперболы, расстояния r1 и r2 от произвольной точки М гиперболы до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки.
Эксцентриситет гиперболы: ε = (ε > 1, т.к. с > а ).
Фокальные радиусы:
для правой ветви гиперболы: r1= а + εх, r2 = -а + εх (| r1 – r2| = 2а),
для левой ветви гиперболы: r1= –а – εх, r2= а – εх (| r1 – r2| = 2а),
Прямоугольник, центр которого совпадает с точкой О, а стороны равны соответственно 2а и 2b и параллельны осям гиперболы, называется прямоугольником гиперболы. Диагонали прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых, называемых асимптотами гиперболы. Они определяются уравнениями:
у
=
х.
Директрисами гиперболы называются прямые l1 и l2 параллельные мнимой оси и отстоящие от нее на расстоянии, равном ; их уравнения:
х = – , х = .
Если а = b, то гипербола (3) называется равносторонней:
x2
–
y2
= а2.
Если фокусы гиперболы лежат на оси Оу, то
у
равнение
гиперболы имеет вид:
–
= -1.
(4)
В
этом случае: b
> a,
ε =
,
уравнения директрис
у
=
.
Гипербола (4) называется сопряженной гиперболе (3).
Уравнение гиперболы с осями, параллельными
к
оординатным:
–
= 1,
г
де
(х0;
у0)
– координаты центра гиперболы.
Пример 9. Дано уравнение гиперболы 5х2 – 4у2 = 20. Найти
длины его полуосей;
координаты фокусов;
эксцентриситет гиперболы;
уравнения асимптот и директрис;
фокальные радиусы точки М (3; 2; 5).
• Разделив правую и левую части
уравнения на 20, получим каноническое
уравнение гиперболы:
–
=
1. Отсюда
1) а2
= 4, b2
= 5, т.е. а = 2, b
=
.
2) с =
=
=
3. Следовательно, F1
(–3; 0) и F2
(3; 0).
3) ε = = .
4) Уравнения асимптот и директрис
имеют вид: у = ±
х
и х
= ±
=
±
=
±
.
5) Точка М лежит на правой ветви гиперболы (х = 3 > 0 ), следовательно,
r1 = 2 + · 3 = 6,5, r2 = –2 + · 3 = 2,5.
Пример 10. Составить уравнение гиперболы, если ее фокусы лежат на оси Оу и
расстояние между равно 10, а длина действительной оси равна 8.
• Уравнение гиперболы имеет вид
–
=
1. По условию задачи 2с = 10,
т.е
с = 5; 2b = 8, b = 4.
Т.к. с2
= a2
+ b 2,
то получаем: 25 = a2
+ 16, т.е. a2
= 9, a = 3. Т.о.,
уравнение гиперболы
–
=
1.
Пример 11. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в точках
F1 (-2; 4) и F2 (12; 4), а длина мнимой оси равна 6.
• Центр гиперболы лежит на прямой
у = 4, параллельной оси Ох. Уравнение
гиперболы имеет вид
–
=
1. По условию задачи 2b
= 6, т.е b
= 3. 2b = 8, b
= 4. Расстояние между фокусами равно
14, т.е. 2с = 14, с = 7.
Т.к. с2
= a2
+ b 2,
то: 49 = a2
+ 9, т.е. a2
= 40, a = 2
.
Центр гиперболы делит расстояние
между фокусами пополам. Поэтому
х0
=
=
5, у0
=
=
4.
Т.о., уравнение гиперболы
–
=
1.
Пример 12. Найти угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентриситет
равен 2.
• Уравнения асимптот гиперболы:
у = ±
х
. Найдем отношение
:
ε = 2,
ε =
=
=
.
Отсюда
=
ε2 –
1, т.е.
=
.
Имеем:
=
=
.
Т.о., уравнения асимптот
гиперболы есть у = ±
х
. Угол φ между асимптотами найдем
по формуле tg φ =
=
=
,
φ =
.
Пример 13. Дан эллипс 5 х2 + 8у2 = 40. Найти уравнение гиперболы, вершины
которой находятся в фокусах, а
фокусы – в вершинах данного эллипса.
Найдем координаты вершин А и В и фокусов эллипса, записав его
уравнение в канонической форме
+
=
1. Имеем а2
= 8,
а = 2
;
b2
= 5, а =
.
Из соотношения с2 = a2 – b 2 находим с: с2 = 8 – 5, с = . Можно записать:
А (2
;
0), В (–2
;
0), F1
(–
;
0) и F2
(
;
0). Обозначим через аg,
bg,
cg
– соответственно полуоси гиперболы
и половину расстояния между ее фокусами.
Тогда, согласно условиям задачи, можно
записать: аg
= OF2,
т.е. аg
=
и cg
= ОА, т.е. cg
= 2
.
Из соотношения
=
+
находим 8 =
3 +
,
поэтому
=
5, bg
=
.
Подставляя найденные значения этому
шения м задачрболы и половину расстояния
между ее фокусами.
– = 1 – искомое уравнение гиперболы.
Парабола
Параболой
называется множество точек
п
лоскости,
каждая из которых равноудалена от
з
аданной
точки фокуса,
и заданной прямой –
директрисы.
Каноническое уравнение параболы: у2 = 2рх, (5)
где р > 0 – параметр параболы – число, равное расстоянию от фокуса F до директрисы l.
Координаты
фокуса: F
(
; 0). Точка
О(0; 0) –
вершина
параболы; длина r отрезка FM – фокальный радиус точки М; ось Ох
– ось симметрии параболы.
Уравнения директрисы l параболы: х = - . Фокальный радиус r = х + .
Парабола,
симметричная относительно
о
си
Оу
и проходящая через начало координат,
и
меет
уравнение: х2
= 2ру.
Ее фокусом
я вляется точка F(0; ). Уравнения директрисы
у
= -
.
Фокальный радиус
r
= у
+
.
Эскизы графиков других парабол:
у2 = -2рх x2 = -2рy (у – y0)2 = 2р(x – x0) ↑ (x – x0)2 = 2р(y – y0) ↑
(у – y0)2 = -2р(x – x0) х – x0)2=-2р(y–y0)
Пример 14. Дана парабола х2 = 4у. Найти координаты ее фокуса, уравнение
директрисы, длину фокального радиуса точки М (4; 4).
• Парабола задана каноническим уравнением. Следовательно, 2р = 4, р = 2. Используя вышеприведенные формулы, находим, что фокус имеет координаты (0; 1), т.е. F(0; 1); уравнение директрисы имеет вид
у = –1; фокальный радиус точки М (4; 4) равен r = 4 + 1 = 5.
Пример 15. Найти вершину, фокус и директрису параболы у = –2х2 + 8х – 5,
построить эскиз графика.
• Приведем уравнение параболы к каноническому виду, выделив в правой части полный квадрат:
у = –2(х2 – 4х + ) = –2(х2 – 4х + 4 – 4 + ) = –2((х – 2)2 – ) = –2(х – 2)2 + 3, т.е.
у = –2(х – 2)2
+ 3 или (
х
– 22 =
–
(у
– 3).
Уравнение параболы имеет вид, как на рисунке. Вершина
параболы имеет координаты (2; 3); 2р = , р = .
Прямая х = 2 является осью симметрии параболы.
Координаты фокуса х = 2, у =
3 –
=
,
т.е. F (2;
).
Уравнение директрисы у = 3 +
= 3 +
,
т.е. у =
.
Пример 16. Найти уравнение касательной к параболе у2 = 4х, проведенной из
точки А (–2; –1).
• Уравнение прямой ищем в виде y = kx + b. Т.к. точка А принадлежит искомой касательной, подставляя ее координаты в уравнение касательной, получим:
–1 = –2k + b.
Далее, эта прямая и парабола имеют
единственную точку (касаются).
Следовательно, система уравнений
имеет единственное решение. Решаем ее
относительно х и у. Возведем правую
и левую части первого уравнения в квадрат
и подставим в левую часть полученного
равенства вместо у2
его выражение из второго уравнения.
Получим k2
x2
+ 2kbх + b2
= 4x. Это – квадратное
уравнение, имеющее единственное
решение в случае, когда дискриминант
равен нулю. Т.о.,
=
(kb – 2)2
– k2
b2
= 0 или 4kb =
4, b =
.
Искомые значения параметров k
и b находятся как
решения системы
, из которой получаем
–2k2
+ k + 1 = 0 и k1
= 1, k2
= –
.
Система имеет два решения:
и
.
Следовательно, две прямые
удовлетворяют условиям задачи: y
= x + 1 и y
= –
x
– 2.