8. Частные производные высших порядков

Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют)   и  , которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производная   обозначается через   или  , а   через   или  . Таким образом,

, 

и, аналогично,

,  .

Производные   и   называются частными производными второго порядка. Определение:Частной производной второго порядка от функции z=f(x;y) дифференцируемой в области D,называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные третьего порядка:  ,  ,   и т. д.

Теорема Шварца — Кристоффеля — важная теорема в теории функций комплексного переменного, носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля.

Очень важной с практической точки зрения является проблема о конформном отображении некой канонической области (единичного круга   или верхней полуплоскости  ) на внутренность произвольного многоугольника. Важность следующей теоремы в том, что она дает общий вид таких отображений.

[править]Теорема

Предположим, что   — некоторый  -угольник, а функция   осуществляет конформное отображение   на  . Тогда  можно представить в виде

,

где   — прообразы вершин   на вещественной оси,   — радианные меры соответствующих внутренних углов, деленные на   (то есть, развернутый угол соответствует нулевой степени), а   и   — так называемыеакцессорные параметры. Интеграл в правой части имеет собственное название — его называют интегралом Шварца — Кристоффеля I рода.

В случае, если прообраз одной из вершин многоугольника находится в бесконечности, то формула немного видоизменяется. Если  -ая вершина имеет своим прообразом бесконечно удалённую точку, то формула будет иметь вид

,

то есть множитель, соответствующий этой вершине, будет просто отсутствовать. Такой интеграл будет интегралом Шварца — Кристоффеля II рода.

Трудность использования этих формул состоит в том, что точки  , как и акцессорные параметры, в общем случае неизвестны. Для их вычисления обычно на многоугольник накладываются какие-то дополнительные нормировки, либо вычисление производится приближённо (что применяется на практике).

9. Дифференцирование сложной функции

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке  , а функция g имеет производную в точке  , то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке  .

]Одномерный случай

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой,   где   и   Пусть также эти функции дифференцируемы:   Тогда их композиция также дифференцируема:   и её производная имеет вид:

Замечание

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции   где   принимает следующий вид:

Инвариантность формы первого дифференциала

Дифференциал функции   в точке   имеет вид:

где   — дифференциал тождественного отображения  :

Пусть теперь   Тогда  , и согласно цепному правилу:

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

Многомерный случай

Пусть даны функции   где   и   Пусть также эти функции дифференцируемы:   и   Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

В частности, матрица Якоби функции   является произведением матриц Якоби функций   и 

Следствия

• Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:

Для частных производных сложной функции справедливо

• 

Дифференцирование неявных функций

Пусть уравнение   определяет   как неявную функцию от х.

а) продифференцируем по х обе части уравнения  , получим уравнение первой степени относительно  ;

б) из полученного уравнения выразим  .

Пример: .