22. Застосування скалярного добутку.

23. Векторний добуток вектора і його властивості.

2.3.1. Означення векторного добутку.

Три не компланарних вектори і , узятих в зазначеному порядку, утворять праву трійку, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого вектора видний, що здійснюється проти годинникової стрілки, і ліву, якщо по годинниковій (див. рис. 15).

рис.15.

• Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , що:

1. перпендикулярний векторам і , тобто

2. має довжину, чисельно рівну площі паралелограма, побудованого на векторах і як на сторонах. (див. рис. 16), тобто

;

3. вектори й утворюють праву трійку.

рис. 16. рис.17.

Векторний добуток позначається З означення векторного добутку безпосередньо випливають наступні співвідношення між ортами (див. рис.17):

2.3.2. Властивості векторного добутку.

1. При перестановці співмножників векторний добуток змінює знак, тобто (див. рис. 18).

□ Вектори колінеарні, мають однакові модулі (площа паралелограма залишається незмінної), але протилежно спрямовані (трійки протилежної орієнтації). Стало бути, .■

2. Векторний добуток має сполучну властивість щодо скалярного множника, тобто

рис.18.

□ Нехай . Вектор перпендикулярний векторам і Вектор також перпендикулярний векторам і (вектори , лежать в одній площині). Виходить вектори колінеарні. Очевидно, що і напрямку їх збігаються. Мають однакову довжину:

і

=

Тому Аналогічно доводиться при ■

3. Два ненульових вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли їхній векторний добуток дорівнює нульовому векторові, тобто ║

□ Якщо ║ , то кут між ними дорівнює 0 або 180 . Але тоді Виходить,

Якщо ж , то Але тоді або , тобто ║ .■

• Зокрема,

4. Векторний добуток має розподільну властивість:

_24.

25. Геометричний зміст векторного добутку

Таким чином модуль векторного добутку дорівнює S_{параллелограма} побудованного на векторах як на сторонах S=|a*b|

Застосування:

26.Мішаний добуток трьох векторів, його властивості

Щоб знайти мішаний (векторно-скалярний) добуток трьох векторів, треба перші два вектори перемножити векторно, а їхній результат скалярно на третій вектор. Мішаний добуток трьох векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах. Результатом є скаляр.

Властивості мішаного добутку:

1. У мішаному добутку знаки векторного і скалярного добутків можна міняти місцями:

2. k∙( ∙ ∙ )=(k∙ )∙ ∙ = ∙ (k∙ )∙ = ∙ ∙ (k∙ )

3. _{( + )}∙ ∙ ₌ ∙ ∙ ₊ ∙ ∙

4. Мішаний добуток ненульових векторів дорівнює нулеві лише тоді, коли вони компланарні АБО якщо вектори компланарні, то ∙ ∙ ₌₀