3.Мінори. Алгебраїчні доповнення.

Мінором -го порядку матриці називаєтьсявизначникматриці, утворенийелементами на перетині стовпців та рядків.

Алгебраїчне доповненнямінора визначається так:

де

 — доповнювальниймінор.

Алгебраїним доповненням елемента називаютьмінорцьогоелемента, взятий зі знаком тобто

Приклади

• Мінор квадратноїматриці — визначникматриці, отриманий шляхом викреслювання рядка 2 та стовпчика 3:

5.Однорідні системи лінійних рівнянь.

Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо вільні члени всіх рівнянь системи дорівнюють нулю.

Будемо розглядати однорідну систему лінійних рівнянь з змінними

------------------------------ (1)

Зрозуміло, що така система рівнянь сумісна, оскільки існує ненульовий розв’язок x₁=0, x₂=0,…,x_n=0. Цей розв’язок будемо називати тривіальним.

Можна зробити висновок, що якщо однорідна система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок, то цей розв’язок тривіальний. З теорії загальних систем лінійних рівнянь випливають наступні твердження для однорідних систем.

Однорідна система лінійних рівнянь має нетривіальний розв’язок тоді і тільки тоді, коли її ранг менше числа невідомих.

Лема. Множина всіх розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (1) утворює підпростір в просторі Rⁿ .

Доведення. Позначимо через M множину всіх розв’язків системи (1). Оскільки, система (1) має тривіальний розв’язок, то θ є M, а тому M≠Ø. Перевіримо виконання умов підпростору.

1. нехай a і b - два розв’язки системи (1); a=(λ₁,λ₂,…,λ_n), b=(γ₁,γ₂,…,γ_n). Доведемо, що a+b=(λ₁+γ₁, λ₂+γ₂,…, λ_n+γ_n) є M.. Для цього підставимо координати вектора a+b в i-те рівняння системи (1≤i≤m). і є розв’язками системи , то

Звідси

Отже, координати вектора a+b є розв’язком i - го рівняння системи ( ). Тому a+b є M.

2. нехай ); a=(λ₁,λ₂,…,λ_n), є розв’язком системи (1), β є R - деяке число. Доведемо, що вектор βa=(βλ₁,βλ₂,…,βλ_n) є розв’язком системи (1). Підставимо координати вектора βa в i-е рівняння системи. Оскільки aє M, то

.

Звідси

.

Отже, координати вектора βa є розв’язком i - го рівняння системи ( ). Тому βa є M., тобто умови підпростору виконуються. Лему доведено.

Вірне й твердження, що є оберненим для твердження леми: кожний підпростір простору Rⁿ є множиною всіх розв’язків деякої однорідної системи лінійних рівнянь з n змінними.

6.Матриці

Матриці застосовуються для зберігання інформації.

Матрицею порядка MxN називається прямокутна таблиця,

що складається з M строк і N стовбців.

Види матриць:

Квадратна - M=N

N=1 - вектор-стовбець

М=1 - вектор-строка

Елементи=0 - нульова матриця

На головній діагоналі не нульові елементи, а інші

нульові - діагональна матриця(якщо ненульові елементи

дорівнюють 1 - одинична матриця)

8.Добуток матриці.

Добутком матриці А(mxp) на В(pxn) називається С (mxn), кожний елемент якої знаходиться по формулі Сіk= ^p∑_j=1 a_ijb_jk

Властивості:

1. A*B≠B*A не комутативність

2. (A*B)*C=A*(B*C=A*B*C асоціативність

3. A*(B+C)=A*B+A*C

4. A*0=0

5. A*E=E*A=A

Приклад:

9.Обернена матриця

Визначення.Квадратнаматриця Вназиваєтьсяоберненоюквадратнійматриці А, якщодобуток А·В є одиничнаматриця.

Визначається за формулою:

10.Розв’язування систем лінійних рівнянь матричним способом

Обмежимось розглядом системи 3-х лінійних рівнянь

Запишемо такі матриці:

,

де складена з коефіцієнтів при невідомих — матрицясистеми, – матрицявільнихчленів, – матрицяневідомих. Знайдемодобуток

Користуючисьозначеннямрівностіматриць, ми бачимо, що система ЛР (1) є не щоінше, як рівністьвідповіднихелементівматриць – стовпців і . Тому початкова система (1) набуває форму матричного рівняння

Для розв’язанняостанньогодомножимозліварівняння (2) на оберненуматрицю , вважаючи, що , отримаємо

Але , а , тоді розв’язок матричного рівняння (2) запишеться

(3)

Покажемо, що з формули (3) можна отримати формули Крамера. Дійсно, підставляючи в (3) вирази для і , маємо

За теоремою про заміщення кожний елемент останньої матриці дорівнює значенням допоміжних визначників , які були введені при розв’язуванні систем за формулами Крамера. Тому далі маємо

Звернемо увагу на те, що в формулі (3) співмножник , залежить тільки від коефіцієнтів при невідомих, а тільки від вільних членів. Тому, коли приходиться розв’язувати системи вигляду (1) з однаковими лівими частинами і різними вільними членами, то в таких випадках матричний розв’язок (3) стає зручнішим: обернену матрицю знаходимо тільки один раз і перемножуємо на нову матрицю . В той же час, за формулами Крамера прийшлося б заново обчислювати допоміжні визначники відповідно для кожного нового набору вільних членів.

Решение СЛАР матричным способом:

?

= - 9 – 8 = - 17

= - (12 + 20) = - 32

= 8 – 15 = - 7

= - (- 15 + 8) = 7

= 12 – 20 = - 8

= - (8 – 25) = 17

= - 20 – 12 = - 32

= - (16 + 16) = - 32

= - 12 + 20 = 8

-17*(-17)+(-32)*(-4)+(-7)*(-9) = 289 + 128 + 63 = 480

7*(-17)+(-8)*(-4)+17*(-9) = - 119 + 32 – 153 = - 240

8*(-17)+(-32)*(-4)+8*(-9) = - 136 + 128 – 72 = 80

x= 4

y= - 2

z= 5