Лабораторная работа №1.

Транспортная задача.

Цель работы: Изучение методов и модификации решения задач, имеющих свою специфику.

Порядок выполнения работы.

1.Общие сведения о задачи линейного программирования.

2. Постановка задачи и ее мат. модель.

3. Построение первоначального (опорного) плана.

а) метод северо-западного угла,

б) метод минимальной стоимости,

в) метод двойного предпочтения,

4. Контрольные вопросы.

1.Общие сведения о задачи линейного программирования.

Транспортная задача линейного программирования широко применяется в планировании различных задачах связанных с экономикой, особенно в правильном подходе к реализации поставок различной продукции. А также оптимального планирования грузооборотов и работы транспорта.

2. Постановка задачи и ее мат. модель.

Некоторый однородный продукт, сосредоточенный у m поставщиков A_i в количестве a_i (i=1,2,…m) единиц соответственно, необходимо доставить n потребителям P_j в количестве b_j (j=1,2,…n) единиц. Известна стоимость C_ij перевозки единицы груза от i-го поставщика к j-му потребителю.

Необходимо составить план перевозок, позволяющий вывезти все грузы, полностью удовлетворить потребности и имеющий минимальную стоимость. Обозначим через x_ij количество единиц груза, запланированных к перевозке от i-го поставщика к j-му потребителю; тогда условие задачи можно записать в виде таблицы (табл. 1), называемой матрицей планирования.

Таблица 1.

Поставщики	Потребители				Запасы
	P1	P2	…	Pn
S1	x11 C11	x12 C12	…	x1n C1n	a1
S2	x21 C21	x11 C22	…	x2n C2n	a2
	…	…	…	…
Sm	xm1 Cm1	xm2 Cm2	…	xmn Cmn	an
Потребности	b1	b2	…	b3

Так как от i-го поставщика к j-му потребителю запланировано к перевозке x_ij единиц груза, то стоимость перевозки составит C_ij. Стоимость всего плана выразится двойной функцией: ,при ограничениях:

а) все грузы должны быть вывезены, т. е. ;

б) все потребности должны быть удовлетворены, т. е. .

В рассмотренной модели предполагается, что суммарные запасы равны суммарным потребностям, т. е. .

3. Построение первоначального (опорного) плана.

Как и для других задач линейного программирования, интеграционный процесс по отысканию оптимального плана транспортной задачи начинают с нахождения опорного плана. Существует несколько простых схем для построения первоначального опорного плана транспортной задачи.

а) метод северо-западного угла:

Не учитывая стоимости перевозки единицы груза, начинаем удовлетворение потребностей первого потребителя P₁ за счет запаса поставщика S₁.

Условие задачи: количество поставщиков – 7, количество потребителей – 5, количество запасов – 3000.

Поставщики	Потребители					Запасы
	P1	P2	P3	P4	P5
S1	5	4	9	1	6	100
S2	4	8	7	2	9	350
S3	8	2	3	4	5	800
S4	3	6	4	7	3	500
S5	6	9	1	5	7	250
S6 S7	9 2	3 1	2 6	3 7	1 2	300 700
Потребности	700	600	500	900	300	3000

C min =

б) метод минимальной стоимости:

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую.

Поставщики	Потребители					Запасы
	P1	P2	P3	P4	P5
S1	5	4	9	1	6	100
S2	4	8	7	2	9	350
S3	8	2	3	4	5	800
S4	3	6	4	7	3	500
S5	6	9	1	5	7	250
S6 S7	9 2	3 1	2 6	3 7	1 2	300 700
Потребности	700	600	500	900	300	3000

C min =

в) метод двойного предпочтения:

Если таблица стоимостей велика, то перебор всех элементов затруднителен. В этом случае используют метод двойного предпочтения, суть которого заключается в следующем.

В каждом столбце отмечают знаком ٧ клетку с наименьшей стоимостью. В результате некоторые клетки имеют отметку ٧٧. в них находиться минимальная стоимость как по столбцу, так и по строке. В эти клетки помещают максимально возможные объемы перевозок, каждый раз исключая из рассмотрения соответствующие столбцы или строки. Затем распределяют перевозки по клеткам, отмеченные знаком ٧. в оставшейся части таблицы перевозки распределяют по наименьшей стоимости.

Поставщики	Потребители					Запасы
	P1	P2	P3	P4	P5
S1	5	4	9	1	6	100
S2	4	8	7	2	9	350
S3	8	2	3	4	5	800
S4	3	6	4	7	3	500
S5	6	9	1	5	7	250
S6 S7	9 2	3 1	2 6	3 7	1 2	300 700
Потребности	700	600	500	900	300	3000

C min =

4. Контрольные вопросы.

1. Общая задача линейного программирования.

Стандартная формулировка общей задачи выглядит так: требуется найти экстремальное значение показателя эффективности.

Даны линейная функция z=C₁x₁+C₂x₂+…+C_nx_n

и система линейных ограничений

x₁≥0; x_n≥0,

a_ij; b_i C_j – заданные постоянные величины.

Формы записи задач линейного программирования.

1. Каноническая.

Определить max при ограничениях

i=1…n

j=1…m

x_j≥0

2. Стандартная. Определить max при ограничениях

i=1…n

j=1…m

x_j≥0

3) Общая форма. Определить max при ограничениях

i=1…k (k≤m)

j=1…r (r≤n)

x_j≥0

2.Дать определение плана.

Планом или допустимым решением задачи линейного программирования называется вектор Х=(х₁,х₂,…,х_i), удовлетворяющий определенным условиям. План Х=(х₁,х₂,…,х_i) называется опорным, если векторы A_i (i=1,2,…,m) с положительными коэффициентами x_i, являются линейно независимыми. Так как векторы A_i являются m мерными, то из определения опорного плана следует, что число его положительных компонент не может превышать m.

Опорный план называется невырожденным, если он содержит m положительных компонент, в противном случае, план называется вырожденным.

3. Какая модель транспортной задачи называется открытой?

Транспортная задача – задача, целью которой является минимизация полной стоимости перевозок известного количества товаров со склада потребителю.

Транспортная задача, в которой суммарные запасы и потребности совпадают, т.е. выполняется условие: , называется закрытой. В противном случае – модель открытая. Для открытой модели может быть два случая:

а) суммарные запасы превышают суммарные потребности;

б) суммарные потребности превышают суммарные запасы.

4. Теорема о решении транспортной задачи.

Любая транспортная задача, у которой суммарный объем запасов совпадает с суммарным объемом потребностей, имеет решение.

5.Применение задачи.

Транспортная задача применяется главным образом в задачах экономического характера, в планировании поставок и затрат. Экономика сама по себе не существует, а следовательно при рациональном использовании алгоритма задачи, то можно найти применение и в других отраслях жизнедеятельности человека.