8.2. Формирование матрицы жесткости и вектора узловых сил системы

Матрица жесткости системы формируется как сумма вкладов от каждого элемента, поскольку интегралы (6.10, 7.9) вычисляется как сумма интегралов по каждой подобласти (элементу). В предыдущем разделе для удобства матрица жесткости элемента рассматривалась в редуцированной (сокращенной) форме и нумерация глобальных степеней свободы элемента относилась лишь к тем степеням свободы, которые связаны с узлами и элемента . Каждому номеру степени свободы элемента соответствует ее номер в сквозной нумерации степеней свободы системы. Поэтому, если , – глобальные номера степеней свободы системы, то каждый элемент матрицы жесткости вычисляется по формуле:

(8.11)

где – элемент матрицы жесткости, соответствующий глобальным номерам степеней свободы и . Иными словами матрица жесткости системы равна сумме матриц жесткости элементов, записанных в развернутой форме

(8.12)

Уравнение (8.12) – это символическая запись алгоритма формирования матрицы жесткости системы. При реализации алгоритма на ЭВМ формирование матрицы жесткости элементов в развернутой форме не выполняются. Вместо этого после построения матрицы жесткости элемента в редуцированной форме осуществляется засылка элементов этой матрицы в матрицу жесткости системы в соответствии с уравнением (8.11). Аналогично выполняется построение вектора свободных членов

(8.13)

где – вектор узловых сил (и моментов), а – -я его компонента.

8.3. Учет граничных условий

Матрица жесткости системы, полученная суммированием по элементам (81), вырождена, так как не учтены кинематические граничные условия. Она имеет, как минимум, три кратных нулевых собственных значения и соответствующие им собственных вектора, поскольку на плоскости система в целом имеет три перемещения как абсолютно жесткого тела. В общем случае число нулевых собственных значений равно числу степеней свободы системы как абсолютно жесткого тела. Существует несколько способов учета граничных условий. Рассмотрим два основных.

Первый способ заключается в вычеркивании строк и столбцов, соответствующих абсолютно жесткой связи. Если в направлении связи задано перемещение, то вектор правых частей уравнения равновесия модифицируется вычитанием из него -го столбца матрицы жесткости, умноженного на заданное перемещение. Реакция в наложенной связи s определяется после решения преобразованной системы уравнений с вычеркнутым s-тым уравнением как невязка -го уравнения.

Другой, более простой способ, позволяет учесть жесткость связи. Если в направлении -й степени свободы задана упругая связь, имеющая жесткость , то к диагональному элементу матрицы жесткости системы добавляется жесткость этой связи. Если задано смещение упругой связи, то к вектору правых частей добавляется произведение жесткости связи на величину смещения. После решения системы уравнений реакция в связи определяется как произведение найденного перемещения в направлении -й степени свободы на жесткость связи. При моделировании абсолютно жестких связей связями конечной жесткости приходится задавать слишком большие значения коэффициентов жесткости, что приводит к плохой обусловленности матрицы жесткости системы и ухудшает точности решения.

Если упругая опора наклонна, то ее можно рассматривать как конечный элемент с одним узлом [3], матрица жесткости которого определяется по выражению

(8.14)

где , – соответственно косинус и синус угла наклона связи, -скалярная величина. Реакция в такой опоре находится как произведение ее жесткости на найденное перемещение узла, спроецированное на ось опоры. Если задана наклонная абсолютно жесткая опора, то для такого узла принимается своя система координат, в которой формируются уравнения равновесия. Затем граничные условия учитываются по первому способу. После решения системы уравнений найденное перемещение узла в направлении ортогональном к направлению опоры переводится в глобальную систему координат.