8. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ РАМ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 72

8.1. Глобальная система координат. Вектор узловых перемещений и сил, матрица жесткости элемента в глобальной системе координат 72

8.2. Формирование матрицы жесткости и вектора узловых сил системы 74

8.3. Учет граничных условий 75

8.4. Алгоритм расчета стержневых систем на ЭВМ 76

8.5. Пример расчета рамы на действие силовой нагрузки, температуры и смещение опор 77

8. Расчет плоских рам методом конечных элементов

8.1. Глобальная система координат. Вектор узловых перемещений и сил, матрица жесткости элемента в глобальной системе координат

Стержневые конечные элементы могут соединяться в узлах под различными углами. В общем случае элементы системы работают как на растяжение-сжатие, так и на изгиб. Для суммирования всех сил, действующих на узел, необходимо эти силы представить в единой системе координат, которая называется глобальной (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Стержневой элемент в локальной и глобальной системах координат

Перемещения узлов системы также задаются в глобальной системе координат. В глобальной системе координат степени свободы удобно сгруппировать по узлам, а в локальной - по направлениям. Поскольку нумерация степеней свободы в локальной и глобальной системах координат различна, поэтому преобразования векторов перемещений и узловых сил из одной системы координат в другую можно записать в виде

	(8.1)
	(8.2)

где

(8.3)

Матрица ортогональна и ее можно получить как произведение двух ортогональных матриц – булевой матрицы перестановок и матрицы направляющих косинусов:

(75)

Значения ненулевых элементов матрицы даны в таблице 8.3.

Таблица 8.3

Локальная нумерация Глобальная нумерация оси 1 1 1 1 1 1

Матрица направляющих косинусов элемента состоит из двух одинаковых блоков для каждого узла:

(8.5)

где

;

(8.6)

– косинус угла между осями и ; остальные элементы матрицы направляющих косинусов имеют аналогичный смысл. В [3] показано, что для вычисления синуса и косинуса удобно воспользоваться формулами

(8.7)

Введем обозначения , и на основании (8.4) – (8.7) получим выражение для матрицы преобразования элемента (матрица поворота)

(8.8)

Матрица жесткости элемента в глобальной системе координат связывает глобальные узловые силы и перемещения:

(8.9)

Матрица жесткости элемента в локальной системе координат состоит из двух блоков:

, где

(8.10)

матрица получена п.6.2 (формула 6.20), а определяется по формулам (7.23), (7.30), (7.32) в зависимости от наличия шарниров в узлах элемента. Если в обоих узлах имеются шарниры, то . Аналогичную блочную структуру в локальной системе координат имеет вектор узловых сил от внеузловой нагрузки.