Частные случаи в методе вырезания узлов

A. Трёхстержневой незагруженный узел, в котором два стержня лежат на одной прямой , а третий расположен под углом (рис. 3.11). Усилия в стержнях, лежащих на одной прямой равны между собой, а усилие в стержне, расположенном под углом, равно нулю.

Докажем это. Рассмотрим, как соотносятся между собой усилия в стержнях,

N_7-3

соединяющихся в узле 7. Используем уравнения статики:

; N_6-7 - N_7-8=0. Отсюда N_6-7 =N_7-8.

N_7-3 =0.

N_7-8

N_6-7

7

Рис. 3.11

В. Двухстержневой незагруженный узел (рис. 3.12). Усилия в стержнях, соединяющихся в этом узле равно нулю.

Для доказательства используем уравнения статики:

N_i∙sinα =0; N_i=0.

; N_i cosα +N_j =0; отсюда N_j∙=0.

N_j

Задание: Определить нулевые стержни в ферме на рис. 3.12..

F

Рис.3. 12

Метод сечений

Разрежем ферму на две части и отбросим одну из них. Для оставшейся части можно составить три уравнения статического рав­новесия, куда будут входить внешние нагрузки, опорные реакции и продольные усилия в разрезанных стержнях. Таким образом, если в сечение попадают толь­ко три стержня, то при помощи уравнений статики можно определить усилия во всех разрезанных стержнях. Систему трех уравнений по возможности будем сводить к трем разделённым уравнениям, то есть составлять их так, чтобы в них входило 1 неизвестное. Для этого при определении усилия в интересующем нас i-м стержне составляется уравнение: сумма моментов, взятых отно­сительно точки пересечения двух других стержней, попавших в сечение. Эта точка называется моментной точкой для i-го стержня.

На рис. 3.13 показано применение метода сечений при опреде­лении усилий в стержнях третьей панели фермы. Для этого проведено сквозное сечение через стержни этой панели (сечение II-II). Усилие в стержне 3-4 найдём из условия равенства нулю суммы моментов сил, приложенных по левую сторону от разреза II—II, от­носительно точки 8; для определения усилия в стержне 7-8  относительно точки 3. При определении усилия в стержне 3-8 два стержня, исключаемые из уравнения статики (3-4 и 7-8), параллельны друг другу.

Моментная точка в этом случае уходит в бес­конечность и составляется уравнение статики: сумма проекций всех сил, действующих по одну сторону сечения, на ось, перпендикулярную исключаемым стержням (ось Y) равна нулю.

F

F

II

F

F

F

3

4

5

F/2

2

F/2

1

h



A

B

6

7

8

II

d

d

d

d

d

d

V_B=3F

Рис. 3.13

Найдём усилия в стержнях третьей панели через значения F и d. При этом часть вычислений требуется выполнить самостоятельно.

N_3-4=? (сеч.II-II). Искл. N_3-8 и N_7-8. Моментная точка – 8.

; V_A ∙3d-F/2∙3d-F∙2d-F∙d+N_3-4∙h=0; отсюда

(стержень сжат).

N_7-8=? (сеч.II-II). Искл. N_3-4 и N_3-8. Моментная точка – _____

; ____________________________________ отсюда

(стержень растянут).

N_3-8=? (сеч.II-II). Искл. N_3-4 и N_7-8.

Моментная точка уходит в бесконечность, т. к. исключаемые стержни параллельны. Поэтому берём сумму проекций всех сил левой части фермы на ось Y.

; ___________________________ отсюда

(стержень растянут).

Можно проверить правильность вычисления усилий. Для этого возьмём сумму проекций всех сил левой части фермы на ось X.

; N_3-4+ N_7-8+N_3-8 cos γ= 00.

Опишем алгоритм определения функций угла γ.

Для этого рассмотрим треугольник 6-3-7. Катеты этого треугольника – d и h известны. Найдём через них гипотенузу c. Функции синуса и косинуса угла γ определим отношением катетов к гипотенузе.

Другой способ вычисления плеча силы дан в приложении IV.

О

F

F

F

пределим усилия в стержнях второй панели через F и d (рис. 3.14).

F

F

I

3

4

5

F/2

F/2

1

2

R=(a+d) ·sin γ

r=(a+d) ·sin 

∆h

r

h

h₁



A

B

О

γ

6

7

8

γ

d

d

d

d

d

d

V_B=3F

I

R

a

V_А=3F

Рис. 3.14

N_6-7=? (сеч.I-I). Искл. N_2-3 и N_6-3. Моментная точка - 3.

; V_A ∙2d-F/2∙2d-F∙d-N_6-7∙rh=0; отсюда

(стержень растянут).

N_2-3=? (сеч.I-I). Искл. N_6-3 и N_6-7.

Моментная точка (точка их пересечения) _________

; ______________________________ отсюда

(стержень сжат).

N_6-3=? (сеч.I-I). Искл. N_2-3 и N_6-7. Моментная точка – О.

; -V_A ∙a+F/2∙a+F∙(d+a)-N_3-6 R=0; отсюда

Пример 3.1. Требуется: определить усилия в стержнях 6-й и 8-й панели.

1. Приводим равномерно распределённую нагрузки q=2 кН/м по нижнему поясу к узловой. Узловая нагрузка равна q∙d=2∙3=6 кН для средних узлов и q∙d/2=3 кН для крайних.

I

II

1

2

5

6

R

r

4

III



2

β

2. Определим опорные реакции:

3. Найдём усилий в стержнях 6 и 8 панели, включая стойки этих панелей.

(сечение I–I). Исключаем N_2-3 и N_3-4.

(

сечение I–I). Исключаем N_2-3 и N_1-2.

(

сечение I–I). Исключаем N_3-4 и N_1-2.

( вырезаем узел 1)

(вырезаем узел 4)

(сечение II–II). Исключаем N_6-7 и N_7-8.

(сечение II–II). Исключаем N_5-6 и N_7-8.

(сечение III-III) Исключаем N_6-9 и N_7-8.

(вырезаем узел 5)

(

сечение II–II). Исключаем N_7-6 и N_5-6.

Вопросы и задачи для закрепления темы

1. Чем отличается реальная конструкция фермы от её расчетной схемы? Почему нагрузку в ферме приводят к узловой?

2. Записать условие статической определимости и статической неопределимости фермы. Доказать статическую определимость фермы пункта 5.

3. Cформулировать общий принцип подбора уравнений статики при определении усилия в стержне методом сечений.

4. Показать часть фермы, отсечённую сечением, сделанным для определения усилия в стержнях 4-5. Записать уравнение статики, из которого определяется это усилие в общем и развёрнутом виде.

5. Перечислить нулевые стержни в ферме

6.  8. Определить усилия в указанных

стержнях

9. . 10. Определить усилия в указанных стержнях

полураскосной фермы.

d= 2 м

h= 4 м

F= 14 кН

39