2. Свойства бинарных отношений

   0. Рефлексивность

Отношение R рефлексивно ( обладает свойством рефлексивности), если для любого элемента х є М установлено отношение х R х ( на главной диагонали матрицы смежности – единицы); отношение R антирефлексивно, если ни для одного элемента х не установлено такого отношения ( на главной диагонали матрицы смежности – нули); в других случаях (на главной диагонали есть и нули и единицы) говорят «отношение R не рефлексивно».

Таким образом, при установлении этого свойства отношения возможны следующие варианты: рефлексивно, не рефлексивно, антирефлексивно.

Отношения «≤» и «иметь общий делитель» рефлексивны, отношения «<» и «быть сыном» - антирефлексивны. Отношение «быть симметричным относительно оси х» не является ни рефлексивным, ни антирефлексивным: точка плоскости симметрична сама себе, если она лежит на оси х, и не симметрична сама себе в противном случае.

0. Симметричность

Отношение R называется симметричным, если для любого элемента этого отношения (х,у) в множестве R есть соответствующая пара – (у,х).

Другими словами, если отношение R симметрично, то для каждой пары элементов несущего множества это отношение или установлено в обе стороны или не установлено вообще;

отношение R называется антисимметричным, если приведенное выше условие выполняется только для случаев, когда х = у;

отношение R называется не симметричным в остальных случаях. Таким образом, при установлении этого свойства отношения возможны следующие варианты: симметрично, несимметрично, антисимметрично.

Отношение «быть симметричным относительно оси х» является симметричным: если первая точка симметрична второй, то и вторая симметрична первой.

Отношение «≤» - антисимметрично, действительно, если а≤б и б≤а, то а=б.

Отношение «<» - не симметрично.

Матрица смежности симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали.

Для симметричного отношения всегда выполняется равенство

R = R^-1

(симметричное отношение и обратное ему отношение совпадают).

0. Транзитивность.

Отношение R называется транзитивным, если среди множества его элементов для пары элементов вида (х,у),(у,z) всегда можно найти элемент (х,z).

Другими словами, если на графе отношения из вершины х в вершину z, двигаясь по стрелкам, можно перейти через промежуточную вершину у, то для отношения, обладающего свойством транзитивности обязательно должен быть и прямой путь. Если для рассматриваемого отношения имеется нарушение приведенного выше условия, то такое отношение не транзитивно.

Таким образом, при установлении этого свойства отношения возможны следующие варианты: транзитивно, не транзитивно.

Отношения «=», «≤», «жить в одном городе» - транзитивны.

Отношение «быть сыном» - не транзитивно.

Отношение «пересекаться» - не транзитивно.

Пример4:

{1,2} пересекается с {2,3}, {2,3} пересекается с {3,4}, однако {1,2} не пересекается с {3,4}.

0. Эквивалентность

Отношение называется отношением эквивалентности (или просто эквивалентность), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

3. Операции с бинарными отношениями

Поскольку бинарные отношения - это множества, для них определены рассмотренные выше операции над множествами (объединение, пересечение, разность, дополнение).

Необходимо заметить:

• Для бинарного отношения R универсальным множеством W всегда будет квадрат несущего множества М, т.е. операция “дополнение R” всегда определена;

• При выполнении других операций результат будет корректным в том случае, если отношения построены на общем несущем множестве.

Операция прямое произведение при ее формальном применении к двум отношениям в результате даст отношение арности 4.

Естественно потребовать, чтобы при выполнении этой операции арность результата не изменялась. Это достигается применением свойства транзитивности при выполнении операции перемножения отношений.

Пример: Пусть на несущем множестве М = {a,b,c,d} заданы два бинарных отношения:

R = {ab,ac,ad} и Q = {ac,ad,cd}. Произведением этих отношений будет также бинарное отношение S, элементы которого являются подмножеством элементов, полученных в результате формального перемножения множеств R и Q (из всего множества четырехсимвольных цепочек необходимо отобрать только те, у которых средние элементы одинаковые, при записи средние элементы опускаются):

S = R×Q = {accd} = {ad}.

Примечание. Для более эффективного выполнения операции аналитического перемножения отношений нет необходимости перечислять все четырехсимвольные цепочки; нужно выбрать только те комбинации, у которых второй символ элемента первого отношения совпадает с первым символом элемента второго отношения.

Операцию “прямое произведение отношений” для двух отношений можно выполнить графически (на графах перемножаемых отношений) по следующему алгоритму:

• Если на графе первого отношения есть дуга, соединяющая пару вершин (х,у), а на графе второго – дуга, соединяющая вершини (y,z), то на графе результирующего отношения изобразить дугу, соединяющую вершины (x,z);

• Продолжать до исчерпания всех вариантов.

Конечный результат перемножения не зависит от способа выполнения операции (аналитический или графический). Через прямое произведение отношений можно определить степени одного отношения:

Q×Q = Q²; Q×Q×Q = Q³ и т.д.

Транзитивным замыканием отношения (обозначается Q⁺) называют объединение всех целых степеней отношения Q. Такое определение транзитивного замыкания отношения не дает эффективного алгоритма его построения для заданного отношения (по определению – это бесконечный процесс).

Аналитически это можно записать как объединение степеней множества:

Q⁺ = QUQ²UQ³UQ⁴…U Qⁿ… или

Q⁺ = U Qⁱ.

(i є N)

Для практического построения транзитивного замыкания заданного отношения используют следующий алгоритм:

• На графе заданного отношения добавить дуги с использованием свойства транзитивности;

• Процесс добавления дуг закончить, если на построенном таким образом графе нельзя уже добавить ни одной дуги (добавленные на предыдущем шаге дуги также участвуют в построении).

Транзитивно – рефлексивное замыкание отношения Q (обозначается Q^*) – это объединение нулевой степени отношения и транзитивного замыкания отношения:

Q^* = Q⁰UQ⁺ или

Q^* = UQⁱ.

(iєN₀)

Нулевая степень любого отношения, построенного на несущем множестве

М = {a,b,c.d}, имеет вид: {aa,bb,cc,dd}.

Граф транзитивно – рефлексивного замыкания отношения легко получить из графа транзитивного замыкания отношения добавлением в каждой вершине дуги – петли, которая связывает вершину саму с собой.