Розв’язання

Мінор другого порядку, що стоїть у лівому верхньому куті матриці , але в матриці є і відмінні від нуля мінори другого порядку, наприклад . Далі утворимо мінор третього порядку, який обводить відмінний від нуля мінор другого порядку

Утворимо тепер обвідні мінори четвертого порядку для мінора третього порядку, їх можна утворити лише два:

Обидва вони дорівнюють нулю - це означає, що ранг початкової матриці дорівнює трьом.

Відповідь. Ранг початкової матриці дорівнює трьом.

Приклад. Знайти ранг матриці за допомогою елементарних перетворень:

Розв’язання

Використаємо спочатку елементарні перетворення матриці:

1) поміняємо місцями перший і другий стовпчики:

~ ~

2) аналогічно до того, як утворювали нулі в рядках або в стовпчиках при обчисленні визначників, утворимо нулі в першому стовпчику помноживши елементи першого рядка спочатку на -4 і складемо з другим, потім на -1 і складемо з третім, і нарешті на 2 і складемо з четвертим, одержимо матрицю, що записана після першої хвильки. Помножимо тепер елементи першого стовпчика послідовно на -2, -1,-3 і зробимо відповідне додавання, одержимо вигляд матриці після другої хвильки.

3) помножимо другий рядок одержаної матриці на , третій на , четвертий на , одержимо:

~ ~

Зробимо знову елементарні перетворення аналогічно 2), але використовувати будемо другий рядок і другий стовпчик матриці. З остаточного вигляду матриці після виконання елементарних перетворень випливає, що її ранг дорівнює 2, тому що єдиний мінор другого порядку , всі інші більш високого порядку дорівнюють нулю.

Відповідь. rang = 2.

Приклади для самостійного розв’язування

1. Знайти ранг методом обвідних мінорів:

а) ; б)

3. Знайти ранг матриці методом елементарних перетворень:

а) ; б) ;

в)

Тема 3.1. Векторна алгебра

Тема 3.2. Аналітична геометрія

3.1. Векторна алгебра Література

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів: Вища математика. – К.: Національна академія управління, 1997. – 397 с. (с.124 - 137).

2. Лейфура В.М. Математика: Підручник/ В.М.Лейфура, Г.І.Голодницький, Й.І.Файст; За ред. Лейфури В.М.- Київ: "Техніка", 2003.- 640 с. (с. 39 - 50).

3. Овчинников П.П. та ін. Вища математика: Підручник. – К.: Техніка, 2000. – 592 с. (с. 12 - 63).

Питання, що виносяться на самостійну роботу:

• Векторні та скалярні величини. Координати вектора. Дії над векторами в координатній формі. Скалярний добуток і його властивості. Кут між векторами

Векторні та скалярні величини. Координати вектора. Дії над векторами в координатній формі. Скалярний добуток і його властивості. Кут між векторами

Відомо такі два типи величин:

1. Величини, для визначення яких досить задати число. Ці величини називаються скалярними (наприклад, довжина, густина, температура);

2. Величини, для визначення яких недостатньо знати тільки число. Ці величини називаються векторними або просто векторами. Далі під вектором будемо розуміти напрямлений відрізок. Векторними величинами є, наприклад, сила, швидкість, прискорення.

Означення. Модулем вектора називається довжина відрізка, яким зображається вектор. Позначається

Означення. Нульовий вектор - це вектор початок і кінець якого співпадають.

Два ненульові вектори називаються колінеарними, якщо їх напрямки співпадають або протилежні.