Розв’язання

За формулою (1) маємо К₇ = 5 (1 + 7∙ 0,03) = 6,05 млн. грн.

Тоді АК = К₇ - К= 6,05 - 5 = 1,05 млн. грн.

Відповідь. Сума збільшиться на 1,05 млн.грн.

Приклад. Визначити, скільки коштів було покладено для користування під прості 2% річних, якщо через чотири роки накопичилось 9 млн. грн.

Розв’язання

Відомо, що р = 2%, n = 4, К_n = 9 ∙ 10⁶ грн. За формулою (1) знаходимо:

К= , тобто К=

Звідси зрозуміло, що коли К = 8 333 333 грн, то К₄ < 9 <10⁶ грн.

Відповідь. Було покладено для користування 8 333 334 грн.

Розрізняють номінальну і реальну процентні ставки.

Означення. Процентна ставка, яка подається у грошових одиницях за поточним курсом (без урахування інфляції), називається номінальною процентною ставкою.

Означення. Процентна ставка, яка дорівнює номінальній процентній ставці, зменшеній на процент інфляції, називається реальною процентною ставкою.

Приклад. Студент має 100 грн. і вирішує: зберегти їх чи втратити? Якщо він покладе гроші до банку, то через рік отримає 112 грн. Інфляція становить 14% за рік.

а) Якою є номінальна процентна ставка?

б) Якою є реальна процентна ставка?

в) Що б ви порадили студенту?

г) Як вплинуло б на вашу пораду зменшення темпу інфляції на 10% за умови, що номінальна процентна ставка залишилась без зміни?

Розв’язання

а) Маємо K₁ = 112 , К = 100 , п= 1. Тоді за формулою (1) знайдемо:

, р =12%.

б) 12% -14% = -2%.

в) При від’ємній реальній процентній ставці доцільним буде витратити гроші зараз, оскільки сума процентних надходжень не перевищує зростання цін на товари.

г) У такому разі реальна процентна ставка становить 12% - 10% = 2%. При додатній процентній ставці краще зберегти гроші, поклавши їх до банку.

Відповідь. а) р = 12%; б) -2%; в) При від’ємній реальній процентній ставці доцільним буде витратити гроші зараз, оскільки сума процентних надходжень не перевищує зростання цін на товари; г) краще зберегти гроші, поклавши їх до банку

Якщо прибуток по закінченні року додають до початкової суми, то в такому разі мова йде про складні проценти.

Припустимо, що початкова сума дорівнює К і на цю суму протягом п років нараховується процент за питомою нормою і, причому проценти є складними. Тоді через рік дістанемо суму:

К₁=К + К_і = (1+ і),

через два роки —

К₂ = К₁ + К_1і = K₁(1 + і) = К (1+і)².

Методом математичної індукції доведемо, що через п років ця сума становитиме:

К_n = К(1 + i)ⁿ (2)

Справді, при п = 1 формула (2) є правильною. Припустимо, що вона є правильною при п = m , тобто К_т = К (1 + i)^m. Нарешті, покажемо, що вона буде правильною і при п = т + 1:

К_т+1 = К_т (1 + і) =К(1 + і)^т(1 + і) = К(1 + і)^т+1.

Вираз

1 + і = r (3)

називається коефіцієнтом складного процента.

З урахуванням виразу (3) формулу (2) можна записати ще так:

К_п=Кr^п. (4)

З формули (4) випливає, що К_п - це (п + 1) -й член геометричної прогресії з першим членом К і знаменником r. Для данного випадку К_n - показникова функція, аргументом якої є натуральні числа.

Складні проценти застосовують у бухгалтерському обліку багатьох галузей народного господарства, у банках, а також при різноманітних статистичних розрахунках, насамперед при визначенні середньорічних темпів відносного приросту продукції за тривалі періоди часу (за п’ять років, десять тощо).

Приклад. До ощадного банку зроблено внесок терміном на 10 років на суму 1000 грн. Яку суму сплатить ощадний банк по завершені цього терміну, якщо процентна ставка p = 3%?