Розв’язання

1. Приймемо y = U · V;

2. Знайдемо похідну: y = U · V + U · V ;

3. Підставимо у і у в рівняння:

4. Винесемо U за дужки з другого і третього доданків:

;

5. Вираз в дужках прирівняємо до нуля і розв’яжемо диференціальне рівняння:

;

;

;

;

;

;

;

6. Підставимо значення V в рівняння. Одержимо,

;

;

;

;

;

Отже, загальний розв’язок .

7. Розв’яжемо задачу Коші, якщо відомо, що при x = 0, y = 0. Маємо:

Отже, частинний розв’язок .

Відповідь. .

Однорідні рівняння

Означення. Функція f(x; у) називається однорідною n-ного виміру відносно змінних х та у, якщо при будь-якому k  0 виконується рівність: f(k · x; k · y) = kⁿ · f(x; у), .

Наприклад:

f(x; у) = 3х² +4х · у + 5у²;

f(kx; ky) = 3k²x² + 4kx · ky + 5k²y² = k² · (3x² + 4x · y + 5y²) = k² · f(x; у).

Дана функція є однорідною другого виміру (n=2) відносно змінних х і у.

Означення. Диференціальне рівняння у = f(x; у) називається однорідним, якщо f(x; у) є однорідна функція нульового виміру (n= 0).

Розглянемо алгоритм розв’язування однорідних рівнянь:

1 . Підстановка y = U · x;

2. y = U · x + U

3. Підставити значення у і у в диференціальне рівняння:

U · x + U = f(x; U · x)

4. Розв’язати одержане диференціальне рівняння з відокремлювальними змінними і знайти U = U(x);

5. Підставити U(x) в заміну. Одержимо загальний розв’язок диференціального рівняння.

Приклад. Розв’язати рівняння: .

Розв’язання

Це однорідне диференціальне рівняння. Розв’язання проведемо згідно алгоритму.

1. y = U · x;

2. y = U · x + U;

3. ;

;

;

;

4. Це рівняння з відокремлювальними змінними:

;

;

;

;

;

;

;

5. Загальний розв’язок диференціального рівняння: .

Відповідь.

Означення. Рівняння виду f(x; у) · dx + g(x; y) · dx = 0 також називається однорідним диференціальним рівнянням, якщо функції f(x; у) і g(x; y) є однорідними однакового виміру відносно змінних х і у.

Приклад. Розв’язати рівняння (х² + у²) · dx + 4x · y · dy = 0

Розв’язання

f(x; у) = х² + у²; g(x; у) = 4х · у;

f(kx; kу) = k² · (х² + у²); g(kx; kу) = k² · 4х · у;

Таким чином функції f(x; у) і g(x; y) однорідні однакового (другого, n=2) виміру. Маємо однорідне рівняння, розв’язок якого проведемо згідно алгоритму.

1. Нехай у = U · x, тоді у = U · x + U;

2. Виразимо з рівняння похідну ;

4 x · y · dy = - (x² + y²) · dx

;

3. Підставимо y і y :

;

;

;

;

;

;

4. Відокремивши змінні та інтегруючи, маємо:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

5. Отже, загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд:

.

Відповідь. .

Приклади для самостійного розв’язування

1. Розв’язати рівняння:

а) х^/ у – у = 0, якщо у = 4 при х = -2;

б) х + ху + у^/ (у + ху) = 0;

в) 2ху² dx = (1 + y²) dy.

2. Розв’язати рівняння:

а) (х² + 2ху) dx + xy dy = 0;

б) , якщо у = π/2 при х = 1.

3. Розв’язати рівняння:

а) ;

б) у^/ cos x – y sin x = sin 2x.