Розв’язання

Це рівняння з відокремлювальними змінними. Розпишемо похідну як відношення диференціалів:

Перенесемо другий доданок в праву частину і домножимо обидві частини на dx:

(1 + х²) · dy = 2х · у ·dx ;

Відокремимо змінні. Для цього поділимо обидві частини на (1+ х²) · у, маємо:

- в рівнянні змінні відокремлені.

Знайдемо інтеграли від лівої і правої частини рівняння.

Для зручності сталу запишемо у логарифмічній формі:

;

у = с · (1 + х²) – загальний розв’язок диференціального рівняння.

Розв’яжемо задачу Коші при х = 0, у = 5:

5 = с · (1 + 0);

с = 5.

Тоді, у = 5 · (1 + х²) - частинний розв’язок.

Відповідь. Загальний розв’язок у = с · (1 + х²), частинний розв’ язок у = 5 · (1 + х²).

Запишемо алгоритм розв’язування диференціальних рівнянь з відокремлювальними змінними.

1. Розпишемо похідну як відношення диференціалів: ;

2. Домножимо обидві частини на dx і перенесемо члени, що містять dx в одну частину рівняння, а dy - в другу.

3. Відокремимо змінні, тобто зберемо в одній частині функцію, що залежить від y разом з dy, а в другій - функцію від х разом з dx.

Знайдемо інтеграл від лівої і правої частини рівняння. Одержимо частинний розв’язок диференціального рівняння.

Розв’яжемо задачу Коші і знайдемо частинний розв’язок рівняння.

Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння (1 + e^2x) · y² · y = e^x.

Розв’язання

Розпишемо похідну і одержимо рівняння:

.

Відповідь. .

Лінійні рівняння

Означення. Рівняння виду y + P(x) · y = Q(x), де Р(х), Q(x) - функції залежні від х (або сталі) називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.

Якщо Q(x) = 0, то рівняння має вигляд y + P(x) · y = 0 і називається лінійним однорідним рівнянням. Якщо Q(x)  0, то воно називається лінійним неоднорідним.

Для розв’язування лінійних рівнянь застосовують слідуючий алгоритм:

1. Підстановка y = U · V, де U = U(x), V = V(x).

2. у = (U · V) = U · V + U · V ;

3. Підставити значення у і у в рівняння. Одержимо:

U · V + U · V + P(x) · U · V = Q(x)

4. Згрупувати доданки, що містять U = U(x) (або V = V(x)) і винести за дужки U (або V )

U · V + U ·(V + P(x) · V) = Q(x);

5. Вираз в дужках прирівняти до нуля:·( V + P(x) · V) = 0. Одержане диференціальне рівняння є рівнянням з відокремлювальними змінними, розв’язавши його знайдемо V(x).

6. Підставити V(x) в частину рівняння, що залишилася. Одержимо рівняння з відокремлювальними змінними. Необхідно розв’язати його і знайти U(x) .

7. Підставити U(x) і V(x) в заміну. Одержимо загальний розв’язок диференціального рівняння.

Приклад. Розв’язати рівняння y + y · tg x = cos² x.

Розв’язання

Маємо лінійне диференціальне рівняння першого порядку, де P(x) = tg x, Q(x) = cos²x.

1. y = U · V;

2. y = U · V + U · V ;

3. U · V + U · V + U · V · tg x = cos ²x;

4. U · V + U · (V + V · tg x) = cos ²x;

5. V + V · tg x = 0;

;

;

;

;

;

;

V = cos x;

6. U · cos x = cos² x;

;

dU = cos x · dx

U = sin x + c

7. y = U · V

y = cos x · (sin x + c) - загальний розв’язок диференціального рівняння.

Відповідь. y = cos x · (sin x + c).

Приклад. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння , що задовольняє умові у = 0, при х = 0.