Розв’язування вправ на диференціальні рівняння першого порядку

Означення. Рівняння, що містить незалежну змінну, функцію, її похідні або диференціал називається диференціальним рівнянням.

F (x; у; у; у ... у⁽ⁿ⁾) = 0

Означення. Розв’язком диференціального рівняння називається функція y = f(x) при підстановці якої в рівняння воно перетворюється в правильну рівність.

Означення. Графік функції y = f(x) називається інтегральною кривою заданого рівняння.

Наприклад, функція y = sin x є розв’язком рівняння y  + y = 0.

Дійсно, якщо y = sin x, то y = cos x, а у = -sin x. Тоді - sin х + sin x = 0 і y = sin x – розв’язок рівняння.

Розв’язки диференціального рівняння можуть бути загальними і частинними.

Означення. Розв’язок диференціального рівняння в якому кількість сталих дорівнює порядку рівняння називається загальним розв’язком диференціального рівняння.

Означення. Розв’язок диференціального рівняння при конкретних значеннях сталих називається частинним розв’язком рівняння.

Для знаходження частинного розв’язку диференціального рівняння з загального розв’язку задають початкову умову у вигляді у₀ =f(x₀), або точку (х₀; у₀). Початкову умову ще записують так .

Приклад. Знайти розв’язок рівняння у = sin x, який задовольняє початкову умову y() = 2.

Розв’язання

y = - cos x + c - загальний розв’язок диференціального рівняння.

Підставляючи у загальний розв’язок замість x і y відповідні значення отримаємо:

2 = - cos  + c;

2 = 1 + с;

с = 1.

Отже, у = - cos x + 1 - частинний розв’язок диференціального рівняння.

Відповідь. у = - cos x + 1.

Означення. Задача на знаходження частинного розв’язку, що задовольняє початковим умовам, називається задачею Коші.

З геометричної точки зору розв’язати задачу Коші означає знайти інтегральну криву, графік якої проходить через точку А (x₀; у₀).

Зауваження. В диференціальному рівнянні може існувати розв’язок, який неможливо отримати з загального розв’язку ні при якому значенні сталої С, включаючи ±  .

Рівняння з відокремлювальними змінними

Означення. Диференціальне рівняння вигляду y = f(x) · g(y), де права частина є добутком двох функцій, одна з яких залежить тільки від х, а друга - тільки від у, називається рівнянням з відокремлювальними змінними.

Розглядаючи у як функцію від х, остання рівність є рівністю диференціалів двох функцій, з якої за властивістю невизначеного інтеграла випливає рівність:

Знайшовши інтеграли, одержимо загальний розв’язок диференціального рівняння.

Диференціальне рівняння виду f₁(x) · g₁ (y) · dx + f₂(x) · g₂(y) · dy = 0 також називається рівнянням з відокремлювальними змінними.

Перенесемо другий доданок в праву частину і, поділивши обидві частини на добуток g₁(y) · f₂(x)  0, одержимо:

f₁(x) · g₁ (y) · dx = - f₂(x) · g₂(y) · dy;

Інтегруючи ліву частину за х, а праву за у, дістанемо:

- загальний розв’язок.

Приклад. Розв’язати рівняння x · dx = y · dy. Знайти частинний розв’язок, якщо при х = 1; y = 5.

Розв’язання

Дане рівняння є рівнянням з відокремлювальними змінними. Поділимо обидві частини рівняння на x · y  0. Одержимо:

Інтегруємо останнє рівняння:

(для зручності сталу інтегрування записали в логарифмічній формі).

у = с · х - загальний розв’язок диференціального рівняння.

Розв’яжемо задачу Коші при х = 1, у = 5:

5 = с · 1;

с = 5;

у = 5х – частинний розв’язок рівняння.

Відповідь. у = 5х.

Приклад. Розв’язати диференціальне рівняння (1 + х²) · у - 2х · у = 0. Знайти загальний і частинний розв’язки, якщо при х = 0, у = 5.