Об’єм тіла, отриманого при обертанні кривої навколо координатної вісі

Якщо об’єм V отримується в результаті обертання кривої y = f(x), а ≤ х ≤ b, навколо вісі Ox, то, очевидно, , тому:

Приклад. Знайти об’єм еліпсоїда, що утворився внаслідок обертання еліпса навколо вісі Ox.

Розв’язання

Дану задачу легше вирішити, якщо застосувати параметричні рівняння еліпса: .

Верхня дуга еліпса одержується при зміні t від 0 до π, при цьому крайній лівій точці еліпса відповідає значення параметра t₀, рівне π, крайній правій точці відповідає значення t_k = 0. Формула для кривої, що задана параметрично, набуде вигляду: , тому:

Відповідь.

Я кщо необхідно знайти об’єм тіла, утвореного внаслідок обертання плоскої фігури ABCD навколо вісі Oy, мислимо по іншому. Розбиваємо тіло на порожні циліндри радіуса x, товщини , висоти f(x). Об’єм цього циліндру дорівнює добутку довжини кола 2πх на товщину та висоту f(x); зсумувавши ці об’єми та переходячи до границі при , отримаємо:

.

Об’єм тіла, утвореного при обертанні сектора, що обмежений кривою r = r(φ) та двома полярними радіусами φ = α та φ = β, навколо полярної вісі знаходиться за формулою:

Приклад. Знайти об’єм тора, отриманого обертанням кола r = sin φ навколо полярної вісі.

Розв’язання

Відповідь. .

Площа поверхні обертання

Площа поверхні обертання, утворена при обертанні навколо вісі Ox диференційованої кривої, визначається за формулами (в залежності від способу задання кривої)

( - довжина кола кільця, - його ширина).

Приклад. Знайти площу тора, що утворений при обертанні кола r = sin φ навколо вісі Ox.

Розв’язання

Відповідь. .

Приклади для самостійного розв’язування

1. Знайти довжину дуги кривої при 0 ≤ х ≤ 1.

2. Знайти довжину напівкубічної параболи у² = х³ між точками з абсцисами х = 0 і х = 4.

3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої кривими у = х² і .

4. Знайти площу фігури, обмеженої лініями у = х², х = у².

8.3. Диференціальні рівняння першого порядку

Література

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів: Вища математика. – К.: Національна академія управління, 1997. – 397с. (с. 315 - 333).

2. Вища математика: Навч.-метод.посібник для самост.вивч.дисц. / К.Г.Валєєв, І.А. Джалладова, О.І.Лютий та ін. – К.: КНЕУ, 1999. – 396с. (с. 295 - 324).

3. Вища математика. Частина 1: навчальний посібник. / В.П.Лавренчук, Т.І.Готинчан, В.С.Дронь, О.С.Кондур. – Чернівці: Рута, 2002. – 191с. (с. 173 - 183).

4. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Под рнд. Г.Н.Яковлева. – М.: Наука, 1988. – 272с. (с. 40 - 66).

5. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика: Підручник. – К.: Либідь, 1996. – 440с. (с. 194 – 207).

Питання, що виносяться на самостійну роботу:

• Розв’язування вправ на диференціальні рівняння першого порядку