Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Метод посібник Вища матем.doc
Скачиваний:
23
Добавлен:
20.11.2019
Размер:
5.36 Mб
Скачать

Розв’язання

На даному відрізку функція визначена і неперервна, диференційована в інтервалі (-2;2). Знайдемо похідну, критичні точки:

х=0

Знайдемо значення функції в критичній точці і на кінцях відрізка:

Отже,

.

Відповідь. .

Приклад. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [a;b].

Розв’язання

Функція визначена і неперервна на відрізку [-1; 1], диференційна в інтервалі (-1;1). Тому вона набуває на даному відрізку найбільшого і найменшого значення. Знайдемо критичні точки даної функції. Для цього знайдемо похідну:

і прирівняємо її до нуля: х4+8х=0; х=0; х=-2.

Отже, на інтервалі (-1;1) функція має лише одну критичну точку х=0. Знайдемо значення функції в цій точці .

Обчислимо значення функції на кінцях відрізка:

,

.

Отже,

,

Відповідь. ,

Приклади для самостійного розв’язування

  1. Знайти найбільше та найменше значення функції Z = x2y (4 – x - y) в трикутнику, обмеженому лініями х = 0, у = 0, х + у = 6.

  2. Знайти найбільше на найменше значення функції в області D:

а) Z = 1 + x + 12y; D = {x ≥ 0; у ≥ 0; х + у ≤ 1};

б) Z = 1 + x2у; D = 2 + у2 ≤ 1}.

Застосування диференціаль­ного числення функцій багатьох змінних до наближених обчис­лень

Означення. Повним диференціалом dz від функції z =f(x,y) називають суму її частинних диференціалів:

Наприклад, якщо , то

Поняття повного диференціала має ряд застосувань. По-перше, величина dz є приростом (по z) дотичної площини до поверхні z =f(x,y), аналогічно до того, як диференціал dy від функції f(x) є приростом ординати дотичної до кривої y = f(x) (рис. 1,а - б).

z y y=f(x)

z=z(x,y) dy

dz

dyx=dx

dx y x

x

a б

Рис. 1.

По-друге, за допомогою диференціала можна оцінити похибку функції від багатьох змінних, якщо відомі похибки аргументів:

,

де - похибки аргументів.

По-третє, з використанням диференціала можна знаходити похідні від функцій, заданих неявно.

Приклад. Нехай та . Потрібно оцінити похибку функції .

Розв’язання

Маємо

Отже,

Відповідь. .

Нехай потрібно знайти похідну у тому випадку, коли функція задана неявно у вигляді . Узявши від функції F(x,y) повний диференціал, отримуємо:

звідки .

Приклад.Знайти похідну якщо .

Розв’язання

Маємо

звідки .

Відповідь. у/х

За допомогою неявних похідних в економіці визначають граничні норми (частки, квоти, rate) заміни.

Приклад. Виробнича функція має вигляд Q=10x1+15x2, де x1 та x2 -затрати ресурсів (факторів виробництва). Потрібно знайти граничну норму технологічної заміни ресурсу x2 на ресурс x1 (під граничною нормою технологічної заміни ресурсу x2 на ресурс x1 в економіці розуміють додаткову кількість ресурсу x1, яка компенсує зменшення ресурсу x2 на одиницю).