Розв’язання

1. Область визначення функції f :

х= .

2. Функція парна. Тому її графік симетричний відносно осі ординат.

3. Функція не є періодичною. Це випливає навіть з того, що вона невизначена лише у двох точках.

4. Графік функції перетинає вісь ординат у точці (0;1). Нулі функції відсутні. Отже, графік функції не перетинає вісь абсцис.

5. Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки. Для цього знайдемо похідну

;

х=0 – критична точка.

Для . Отже, на цих проміжках функція зростає. Оскільки функція парна, то на проміжках вона спадає. Тоді точка х=0 є точкою локального максимуму. Знайдемо його значення

.

6. Дослідимо функцію на опуклість та точки перегину:

.

На проміжках . Отже, графік функції опуклий вниз.

На проміжку , а тому графік функції опуклий вгору.

Точки перегину відсутні.

7. Оскільки , то пряма у=1 є горизонтальною асимптотою для графіка функції.

Дослідимо поведінку функції біля точок х=2, х=-2:

, .

Отже, в точці х=2 функція має розрив другого роду, а пряма х=2 є вертикальною асимптотою. Враховуючи парність функції, робимо висновки, що пряма х=-2 також є вертикальною асимптотою.

Будуємо графік (рис.1)

Рис. 1

Приклад. Побудувати графік функції:

Розв’язання

1. Область визначення функції f : .

2. Функція не належить ні до парних, ні до непарних. Це безпосередньо випливає з того, що область її визначення несиметрична відносно нуля.

3. Період функції . Тому дослідження функції достатньо спочатку провести на проміжку . Крім того, враховуючи, що , робимо висновок про симетричність графіка відносно прямої на проміжку . Тому можна обмежитися дослідженням функції на проміжку .

4. Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки на проміжку . Для цього знайдемо її похідну:

.

Для . Тому функція на цьому проміжку спадає. Тоді на проміжку вона зростає, а в точці має мінімум, який дорівнює 1.

Враховуючи періодичність функції, робимо висновок, що вона на проміжках і зростає на проміжках , . В точках набуває мінімального значення, яке дорівнює 1.

5. Дослідимо функцію на опуклість на проміжку :

.

Звідси безпосередньо випливає, що для . Отже, графік функції опуклий вниз. Тоді і на проміжку він опуклий вниз. Таким чином, на проміжках графік функції опуклий вниз.

6. Визначимо поведінку функції біля нуля справа і біля зліва:

.

Отже, прямі х=0, х= – вертикальні асимптоти. Тоді і прямі х= , – вертикальні асимптоти.

Будуємо графік (рис.2)

Рис. 2

Приклад. Дослідити функцію і побудувати її графік.

Розв’язання

1. Знаходимо область визначення функції. Функція існує при всіх значеннях х за виключенням значення х = 1.

Звідси її область визначення (-∞ <х< 1; 1 < х < + ∞).

2. Точка х = 1 є точкою розриву функції. Дослідимо її характер:

Як ліворуч, так і праворуч маємо нескінченний розрив. Точка х = 1 - точка розриву другого роду.

3. Вертикальні асимптоти. Пряма х = 1 є вертикальною асимптотою.

4. Знаходимо точку перетину графіка функції з осями координат:

з віссю Ох: у = 0; ; 2х - 1 =0; х= ; ( ; 0);

з віссю Оу: х = 0;у = ; (0;-1).

5. Знаходимо точки екстремуму та інтервали зростання і спадання функції, результати заносимо у табл. 1:

; у' = 0 -2х= 0 х = 0 — критична точка. При х →1 у' → ∞, але у цій точці функція не існує. Дослідимо критичну точку х = 0 на екстремум:

при х = -1 у'= <0(-);

при х = у' = >0(+).

Таблиця 1

х	(-∞; 0)	0	(0; 1)	1	(1; +∞)
у'	-	0	+	Не існує	-
у		min (-1)		Не існує

Проходячи через критичну точку зліва направо, похідна змінює знак з "-" на "+", через це в точці х = 0 функція має мінімум:

y_min = -1 / 1 = -1. У точці х = 1 функція не визначена. При 1< x <+∞, у'(х)<0 значить, функція на цьому інтервалі спадає.

6. Точки перегину та інтервали випуклості й вгнутості графіка знаходимо за допомогою другої похідної:

; у"= 0

2(2х+1) = 0 х = ; при х = 1 у" не існує, але в цій точці і сама функція.

Дослідимо точку х = :

при х = -1 <0(-);

при х = 0 у"= 2 / 1 = 2>0(+).

Друга похідна, походячи через х = , змінює знак, значить, точка кривої з цією абсцисою є точка перегину. Знайдемо її ординати:

Таким чином, точка ( ; ) - точка перегину.

У точці х = 1 функція не визначена. При 1< х < + ∞ у" >0, значить, графік функції вгнутий.

Результати дослідження заносимо у табл. 2

Таблиця 2

х	(-∞; )		( ; 1)	1	(1; +∞)
у''	+	0	+	Не існує	+
у		Перегин ( )		Не існує

7. Рівняння похилої асимптоти знаходимо в вигляді у = kx + b:

Таким чином, похилою асимптотою є у = 0 (вісь Ох).

На основі результатів дослідження будуємо графік функції. Для точнішої побудови візьмемо додатково точки (рис. 3):

(-5;-0,3), ( ; 3), (2; 3),(3;1,3).

Рис.3