Тема 1.1. Вступ. Множини та операції над ними

Тема 1.2. Комбінаторика. Біном Ньютона

1.1. Вступ. Множини та операції над ними Література

1. Вища математика: Навч.-метод.посібник для самост.вивч.дисц. / К.Г.Валеєв, І.А.Джалладова, О.І.Лютий та ін. – К.: КНЕУ, 1999. – 396 с. (с. 213 - 244).

2. Лейфура В.М. Математика: Підручник/ В.М.Лейфура, Г.І.Голодницький, Й.І.Файст; За ред. Лейфури В.М.- Київ: "Техніка", 2003. - 640 с. (с. 28 - 35, 52 - 68).

3. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Под ред. Г.Н.Яковлева. – М.: Наука, 1988. – 272 с. (с. 9 - 40).

4. Овчинников П.П. та ін. Вища математика: Підручник. – К.: Техніка, 2000. – 592 с. (с. 290 - 300).

5. Шкіль М.І. Алгебра і початки аналізу – Зодіак-ЕКО, 2001. – 656 с. (с.427-455).

Питання, що виносяться на самостійну роботу:

• Перехід від алгебраїчної форми запису комплексного числа до тригонометричної, показникової і навпаки

• Розв’язування квадратних рівнянь з від’ємним дискримінантом

• Поняття про прості і складні відсотки, їх застосування у конкретних задачах

Перехід від алгебраїчної форми запису комплексного числа до тригонометричної, показникової і навпаки

Комплексні числа не є числами в елементарному значенні цього слова, що застосовуються при підрахунках і вимірюваннях, а є математичними об'єктами, які визначаються поданими нижче властивостями.

Комплексне число позначається символом а + bі, де а і b - дійсні числа, які називаються відповідно дійсною i уявною частинами комплексного числа а + bі, а символ і, визначений умовою і² = –1, називається уявною одиницею.

Звичайно комплексне число а + bі позначають однією буквою (найчастіше z): z = а + bі.

z = а + bі - алгебраїчна форма

z = r ( cos φ + i sin φ) - тригонометрична форма

z = re^iφ - показникова форма

Перехід від алгебраїчної форми до тригонометричної форми і показникової здійснюється за слідуючим алгоритмом:

1. Знайти модуль комплексного числа за формулою:

2. Знайти аргумент комплексного числа.

Для цього знайти тангенс допоміжного кута φ, за формулою:

Зобразити комплексне число на координатній площині і визначити в якій чверті лежить радіус-вектор.

3. Якщо:

φ - І чверть, то φ = φ₁

φ - II чверть, то φ = π – φ₁

φ - III чверть, то φ = π + φ₁

φ - IV чверть, то φ = 2π – φ₁

4.Записати число в тригонометричній або в показниковій формах.

Приклад. Записати число z = -1 + і в тригонометричній і показниковій формах.

Розв’язання

z = -1 + a = -1; b =

1. ;

2. ,

у

φ – ІІ чверть

φ

-1 х

φ = π – φ₁ = φ = π – π/3 = 2π/3

Тоді тригонометрична форма запису комплексного числа має вигляд: , а показникова .

Відповідь. Тригонометрична форма запису комплексного числа має вигляд: , а показникова .

Перехід від показникової форми до алгебраїчної здійснюють таким чином: записують число в тригонометричній формі, а потім обчислюють значення синуса і косинуса.

Приклад. Записати число в алгебраїчній формі: .

Розв’язання

Запишемо число в тригонометричній формі: z = 6, φ = = 300°

Z = 6(cos300°+і sin300°)

Обчислимо значення синуса і косинуса:

сos 300° = сos(360° - 60°) = сos 60° = 1/2

sin 300° = sin(360° - 60°) = - sin 60° =

Підставимо значення: Z = 6

Відповідь.