Доведення

Суму функцій u(x)+(x), де х є [a; b], яка являє собою нову функцію, позначимо через f(x) і знайдемо похідну цієї функції.

Нехай х₀ – деяка точка інтервала [a; b].

Тоді

Також,

Так як х₀ – допустима точка інтервала [a; b], то маємо:

Випадок різниці розглядається аналогічно. Теорема доведена.

Наприклад,

а)

б)

в)

Теорема. Якщо функції u(x) і (x) мають похідні у всіх точках інтервала [a; b], то:

для любого х є [a; b]. Тобто,

Доведення

Позначимо похідну добутку через х є [a; b], і знайдемо похідну цієї функції, виходячи із означення.

Нехай х₀ – деяка точка інтервала [a; b]. Тоді:

А так як то:

Так як х₀ – вільна точка інтервала [a; b], то маємо:

Теорема доведена.

Наприклад,

а)

б)

в)

Наслідок. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

Доведення

Застосувавши теорему про похідну сталий множник можна виносити за знак похідної, де а – число, отримаємо:

Наприклад,

а)

б)

Похідна частки двох функцій .

Теорема. Якщо функції мають похідні у всіх точках інтервалу [a; b], причому для любого х є [a; b], то:

для любого х є [a; b].

Доведення

Позначимо тимчасово через знайдемо використовуючи означення похідної.

Нехай х₀ – деяка точка інтервала [a; b].

Тоді,

Так як

то

А отже

Так як х₀ – вільна точка інтервалу [a; b], то в формулі х₀ можна замінити на х. Теорема доведена.

Наприклад,

а)

б)

Приклад. Знайти

Розв’язання

Чисельник та знаменник дробу окремо прямують до нуля при x → 0, (невизначеність вигляду ).

Використовуючи правило Лопіталя, одержимо:

Відповідь.

Приклади для самостійного розв’язування

1. Користуючись означенням похідної, знайти похідну функцій:

а) у = 2х³ + 5х² – 7х – 4;

б) у = -ctgх – х;

в) у = sin (2х+3).

2. Знайти граничний доход підприємства, якщо кількісь виготовлених та проданих виробів х та роздрібна вартість кожного виробу р зв’язані з рівністю х = 4000 – 2р.

3. Функція витрат підприємства має вигляд V(x)=2000+10x-0,1х²+0,002х³ (тисяч гривень). Знайти граничну вартість при х = 50, х = 100 та х = 120.

Похідні функцій заданих неявно та параметрично

Означення. Якщо функція задана у вигляді , де t - параметр, то це завдання називають параметричним.

Для знаходження похідної використовують формулу:

(1)

Для знаходження другої похідної необхідно:

(2)

Приклад. Знайти похідну функції, заданої параметрично

Розв’язання

Знайдемо

Знайдемо

Тоді за формулою (1)

Тоді за формулою (2):

Відповідь. ;

Означення. Функція виду F(x;y) = 0, де х - незалежна змінна, у - функція називається функцією, що задана неявно.

Наприклад, х²у² + 2у⁴ + = 0

у² cos х + 5ху³ = 0.

Надалі будемо вважати, що ця функція - диференційована.

Продиференціювавши по х обидві частини рівняння F(x;y) = 0, дістанемо, рівняти першого степеня відносно у. З цього рівняння легко знайти у', тобто похідну неявної функції

Приклад. Знайти у', якщо х² + у² = 4