Розв’язання

За формулою (1) еластичність собівартості

При х = 60 Е_{х= 60(у)} = - 0.6, тобто при виробництві продукції в розмірі 60 млн. грош.од., збільшення її на 1% викличе зменшення собівартості на 0,6%.

Відповідь. Е_{х= 60(у)} = - 0,6.

Приклад. За допомогою досліду були встановлені функції попиту та пропозиції s = р + 0.5, де q та s - кількість товарів відповідно що купується і пропонується для продажу за одиницю часу, р - ціна товару.

Знайти: а) рівноважну ціну, тобто ціну, за якої попит та пропозиція врівноважуються; б) еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни; в) зміну доходу при збільшенні ціни на 5% від рівноваженої.

Розв’язання

а) Рівноважна ціна визначається з умови q = s, =р + 0.5, звідки р = 2, тобто рівноважна ціна дорівнює 2 грош. од.

б) Знайдемо еластичності попиту та пропозиції за формулою (1):

, .

Для рівноважної ціни р = 2 маємо Е_p=2(q) = - 0.3; E_{p = 2(s)} = 0,8. Так як отримані значення еластичності за абсолютно. Величиною менші 1, то попит і пропозиція даного товару за рівноважної (ринкової) ціни нееластичні відносно ціни. Це означає, що зміна не приведе до різкої зміни попиту і пропозиції. Так, при збільшенні ціни р на 1% попит зменшиться на 0,3%, а пропозиція збільшиться на 0,8%.

в) При збільшенні ціни р на 5% від рівноважної попит зменшиться на 5 ∙ 0,3 = 1,5%, тобто прибуток зросте на 3,5%.

Відповідь. а) рівноважна ціна дорівнює 2 грош. од.; б) Е_p=2(q) = - 0,3; E_{p = 2(s)} = 0,8; в) прибуток зросте на 3,5%.

Означення похідної функції

Нехай функція у=f(х) визначена в точці х і «біля неї». Якщо х змінюється на величину (приріст змінної х), то значення функції зміниться на величину (приріст функції у). Тоді

Означення. Похідною функції у=f(х) в точці х називається границя відношення приросту функції до приросту змінної (аргументу), якщо приріст змінної прямує до нуля:

Похідна позначається як у' або у'_х (вказується змінна по якій береться похідна), або

Геометричний зміст похідної: Значення похідної функції в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної до графіка функції в цій точці з додатнім напрямком осі ОХ.

Механічний зміст похідної:

Якщо задано функцію , за допомогою якої можна визначити положення точки для будь-якого моменту часу, то рух вважається заданим, а рівняння – рівнянням руху.

Так, в момент часу t точка знаходиться в точці М на відстані . Розглянемо момент , коли точка знаходиться в точці М1 на відстані від точки О. За час точка пройшла шлях із середньою швидкістю:

Границя середньої швидкості за проміжок часу , коли прямує до нуля, називається швидкістю точки в довільний момент часу. Отже:

Швидкість точки, що рухається в довільний момент часу, похідною від шляху за часом, а похідна швидкості за часом є прискоренням.

Основні правила диференціювання

Теорема. Якщо функції u(x) і (x) мають похідні у всіх точках інтервалу [a; b], то:

(u(x)  v(x))′ = u′(x) v′(x)

для любого х є [a; b].