Розв’язання

Для еліпса: c² = a² – b².

Для гіперболи: c² = a² + b².

Таким чином, рівняння гіперболи: .

Відповідь. .

Приклад. Скласти рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет дорівнює 2, а фокуси співпадають з фокусами еліпса, заданого рівнянням

Розв’язання

Знаходимо фокальну відстань: c² = 25 – 9 = 16.

Для гіперболи: c² = a² + b² = 16,

ε = c/a = 2; c = 2a;

c² = 4a²;

a² = 4; b² = 16 – 4 = 12.

Отже: - шукане рівняння гіперболи.

Відповідь. .

Приклад. На параболі у² = 8х знайти точку, відстань від якої до директриси дорівнює 4.

Розв’язання

З рівняння параболи маємо, що р = 4.

r = x + p/2 = 4; Відповідно: x = 2; y² = 16; y = 4.

Шукані точки: M₁(2; 4), M₂(2; -4).

Відповідь. M₁(2; 4), M₂(2; -4).

Приклади для самостійного розв’язування

1. Визначити лінію, рівняння якої 2х²- 8х+ у²+6у+1= 0, та побудувати її.

2. Скласти рівняння кола, діаметром якого є відрізок прямої 3х+4у–12=0, обмежений осями координат.

3. Знайти рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет Е=2 і фокуси збігаються з фокусами еліпса 9х² + 25у² = 225.

4. Знайти канонічне рівняння параболи, коли відомо, що її фокус міститься у точці перетину прямої 4х – 3у – 4 = 0 з віссю абсцис.

Тема 4.1. Задачі лінійного програмування

4.1. Задачі лінійного програмування

Література

1. Гетманцев В.Д. Лінійна алгебра і лінійне програмування. – Київ: Либідь, 2001. – 256 с. (с. 151 - 180).

2. Лейфура В.М. Математика: Підручник. / В.М.Лейфура, Г.І.Голодницький, Й.І.Файст; За ред. Лейфури В.М.- Київ: "Техніка", 2003.- 640 с. (с. 318 - 320).

Питання, що виносяться на самостійну роботу:

• Симплекс - метод розв’язування задач лінійного програмування

Симплекс-метод розв’язування задач лінійного програмування

У цьому питанні, на прикладі розв’язання однієї задачі практичного змісту, розглянемо алгебраїчний метод розв’язування задач лінійного програмування. Цей метод називається симплекс-методом. Він є одним із загальних методів, які дозволяють знайти розв'язок будь-якої задачі лінійного програмування за скінченне число кроків.

Задача. Припустимо, що виготовлення двох видів продукції П₁ і П₂ потребує використання чотирьох видів сировини С₁, С₂, С₃, С₄. Запаси сировини на виробництво є обмеженими. Запаси і кількість кожного виду сировини, яка є необхідною для виробництва кожного виду продукції, наведено в таблиці:

Види сировини	Кількість наявної сировини	Витрати сировини на виробництво
		П1	П2
С1	19	2	3
С2	13	2	1
С3	15	0	3
С4	18	3	0

Прибуток підприємства від реалізації однієї одиниці продукції виду П₁, складає 7 грошових одиниць, продукції виду П₂ - 5 грошових одиниць. Потрібно скласти такий план випуску продукції, при якому прибуток підприємства від реалізації всієї продукції виявився б максимальним.