Розв’язання

Так як точка М лежить на вісі Оу, то її абсциса дорівнює 0: М(0; у) Знайдемо ординату за умови, що

Знайдемо довжину KM за формулою ; .

За умовою . Розв’яжемо рівняння:

9 + (у -7)²=25,

(у - 7)²=16,

у - 7 = 4, у -7 = - 4,

у₁ = 11; у₂ = 3.

Отже, М₁(0; 3); М₂( 0; 1).

Відповідь. М₁(0;3); М₂ (0;1).

Приклади для самостійного розв’язування

1. Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах =(2, 1, 0) та = (0, -2, 1).

2. Знайти координати векторів 2 + 5 та 2 - , якщо = (2, -4, 2), = (-3, 2, -1).

3. Дано вершини трикутника А (3, 2); В (-1, -1); С (11, -6). Знайти довжини його сторін і точку перетину медіан.

4. Відрізок між точками А (3, 2), В (15, 6) поділити на п’ять рівних частин. Знайти координати точок ділення.

5. Обчислити периметр і площу трикутника, якщо А (-2, 1), В (2, -2), С (8, 6).

3.2. Аналітична геометрія Література

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів: Вища математика. – К.: Національна академія управління, 1997. – 397 с. (с.141 - 169).

2. Вища математика: Навч.-метод.посібник для самост.вивч.дисц. / К.Г.Валєєв, І.А.Джалладова, О.І.Лютий та ін. – К.: КНЕУ, 1999. – 396 с. (с. 54 - 86).

3. Лейфура В.М. Математика: Підручник. / В.М.Лейфура, Г.І.Голодницький, Й.І.Файст; За ред. Лейфури В.М.- Київ: "Техніка", 2003.- 640 с. (с. 82 – 108, 129 - 132).

4. Овчинников П.П. та ін. Вища математика: Підручник. – К.: Техніка, 2000. – 592 с. (с. 110 - 167).

Питання, що виносяться на самостійну роботу:

• Розв’язування задач на криві другого порядку

Розв’язування задач на криві другого порядку

Приклад. Знайти координати центра та радіус кола, якщо його рівняння подано у вигляді: 2x² + 2y² – 8x + 5y – 4 = 0.

Розв’язання

Для знаходження координат центру та радіуса кола дане рівняння необхідно звести до вигляду: (x – a)² + (y – b)² = R². Для цього виділимо повні квадрати:

x² + y² – 4x + 2,5y – 2 = 0

x² – 4x + 4 –4 + y² + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² = 121/16

Звідси знаходимо, що центр кола точка О(2; -5/4), а його радіус R = 11/4.

Відповідь. Центр кола точка О(2; -5/4), а його радіус R = 11/4.

Приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через лівий фокус та нижню вершину еліпса, заданого рівнянням:

Розв’язання

1. Координати нижньої вершини: x = 0; y² = 16; y = -4.

2. Координати лівого фокуса: c² = a² – b² = 25 – 16 = 9; c = 3; F₂(-3; 0).

3. Для знаходження рівняння прямої, що проходить через лівий фокус та нижню вершину еліпса скористаємося рівнянням прямої, що проходить через дві точки:

Маємо:

Отже, 4х + 3у + 12 = 0 – шукане рівняння

Відповідь. 4х + 3у + 12 = 0.

Приклад. Скласти рівняння еліпса, якщо його фокуси F₁(0; 0), F₂(1; 1), а велика вісь дорівнює 2.

Розв’язання

Рівняння еліпса має вигляд: .

Відстань між фокусами: 2c = .

Таким чином, a² – b² = c² = 1/2. За умовою 2а = 2, відповідно а = 1, b =

Отже, рівняння еліпса: .

Відповідь. .

Приклад. Знайти рівняння гіперболи, вершини і фокуси якої знаходяться в відповідних вершинах та фокусах еліпса .