Обзорные лекции

по курсу «Прикладная теория упругости и пластичности»

для студентов-заочников

Введение

Наука о прочности (механика деформируемого твердого тела) включает следующие разделы:

- сопротивление материалов;

- теорию упругости;

- теории пластичности;

- строительную механику;

- теорию колебаний;

- механику разрушения.

Любой расчет на прочность предполагает выполнение следующих этапов:

- выбор и обоснование расчетной схемы реального объекта;

- определение номинальных и расчетных нагрузок;

- выбор материала для реального объекта;

- исследование напряженно – деформированного состояния материала объекта;

- исследование предельного состояния материала;

- непосредственный расчет на прочность реального объекта (проверочный или проектировочный).

Как известно, сопротивление материалов – наука об инженерных методах расчетов на прочность, жесткость и устойчивость элементов машин и сооружений. Эти методы базируются на использовании всевозможных гипотез и допущений. Так при схематизации (обосновании расчетной схемы) реального объекта его материал наделяют идеальными свойствами – сплошности и однородности, абсолютной упругости, изотропности. В зависимости от соотношения геометрических размеров объекта, его могут классифицировать в виде бруса, оболочки или массива. Отвлекаясь от истинного характера действия внешних нагрузок, довольно часто их интерпретируют в виде сосредоточенных сил, что является довольно грубым приближением. При выводе расчетных формул применяются ряд гипотез. Скажем – гипотеза плоских сечений, принцип Сен-Венана, принцип «не надавливания» продольных волок балки и др. Естественно, все вышеизложенное приводит к приближенным методам расчета, а получаемые результаты зачастую требуют экспериментальной проверки.

Основным телом, которое изучается в сопротивлении материалов, является брус. Для него, когда его поперечные размеры достаточно малы по сравнению с продольным размером, применима гипотеза плоских сечений. В теории упругости и пластичности составляются уравнения для произвольного сплошного деформированного тела и устанавливаются методы расчета сплошных систем: массивов, оболочек, пластин; решаются задачи о концентрации напряжений, контактные задачи и др. Здесь неприменима гипотеза плоских сечений, так как требуется выполнение строгих условий совместности деформаций и граничных условий.

В качестве основного (и пожалуй единственного) допущения, используемого в теории упругости, есть допущение о свойствах материала. Его принимают, как и в сопротивлении материалов, сплошным, однородным и абсолютно упругим.

Теорию упругости принято делить на линейную и нелинейную. К первой относят ту часть теории упругости, в которой деформирование тела описывается с помощью линейных уравнений. Они связаны с допущениями о малости перемещений , поворотов, деформаций, позволяющим при составлении уравнений применять недеформированную схему тела, и с использованием линейного физического закона, известного как закон Гука.

С другой стороны, теория упругости может быть разделена на математическую и техническую (прикладную). Математической теории упругости присуща прежде всего высокая математическая строгость составления уравнений, при которой не допускаются никакие искажения в исходных основах теории, никакие предположения, связанные с отклонениями от прямой математической схемы составления и решения уравнений. Математическую теорию упругости рассматривают как раздел математической физики.

Иным направлением характеризуется техническая, прикладная теория упругости. Здесь, наряду со строгими математическими требованиями, принимается во внимание получение таких методов и результатов, которые оказались бы лучше всего пригодными для решения практических задач. Для этого нужны более простые, физически ясные решения, и также методы, с помощью которых можно было бы решить не узкий круг задач, а множество вопросов, обычно возникающих в практических инженерных расчетах. В технической теории упругости на основе проникновения в сущность исходных теоретических уравнений находят возможность вносить в них обоснованные коррективы и привлекать экспериментально проверенные гипотезы. При этом на вооружение принимается определенная инженерная догадка, физическая интуиция, которые приобретаются на основе глубоких знаний и обширного осмысленного практического опыта. Физическая интуиция порой значительно облегчает тяжелые искания с помощью теории. К такому выводу приходят и техники и математики.

Ниже будут рассмотрены основы прикладной теории упругости. В тоже время исходные уравнения механики деформированного твердого тела, составленные по трем законам деформирования (статистические законы равновесия, закон сплошности и физический закон), как общие, принадлежат одновременно математической теории упругости.

Цели и задачи курса

Основной задачей теории упругости является исследование напряженного (определение напряжений) и деформированного (определение деформаций) состояния упругого твердого тела, находящегося под силовым или тепловым воздействием.

Для унификации всех последующих выкладок введем следующие основные обозначения. При этом рассматриваемое твердое упругое тело отнесем к системе декартовых координат (рис.1)

Рис.1

где x,y,z – координаты (текущие) произвольной частицы тела;

S_(x,y,z) – поверхность, ограничивающая рассматриваемое тело;

V – объем тела;

υ – вектор нормали;

l,m,n – направляющие косинусы вектора;

σ_x, σ_y, σ_z, _xy, _yz , _zx - компоненты тензора напряжений;

ε_x, ε_y, ε_z, _xy, _yz ,_zx - компоненты тензора деформаций;

u,v,w – линейные перемещения точек деформированного тела по координатным направлениям x,y,z;

Е – модуль продольной упругости материала;

G – модуль сдвига материала;

 - коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона);

X,Y,Z – массовые (объемные) силы, действующие на тело (собственный вес или силы инерции);

ρ – плотность материала;

Р – вектор внешней нагрузки.

Прямая и обратная задачи теории упругости

В теории упругости формулируются и решаются следующие типы задач:

Основная задача І типа.

Задано: тело, т.е. S_(x,y,z); массовые силы X,Y,Z; упругие характеристики E,G, ; Нагрузки Р на отдельных областях S₁, S₂, S₃ – т.е. статические граничные условия.

Определить: компоненты тензора напряжений σ_ij, компоненты тензора деформаций ε_ij, перемещение точек u,v,w.

Основная задача ІІ типа.

Задано: тело, т.е. S_(x,y,z); массовые силы X,Y,Z; упругие характеристики E,G, ; перемещение некоторых точек на поверхности - т.е. кинематические граничные условия.

Определить: σ_ij, ε_ij и u, v, w.

Основная задача ІІІ типа (смешанные)

Задано: тело, т.е. S_(x,y,z); массовые силы X,Y,Z; упругие характеристики E,G, m; на части поверхности тела заданы силы Р (статические граничные условия) а на части граничных точек – заданы перемещения (кинематические граничные условия)

Определить: σ_ij, ε_ij и u, v, w.

В свою очередь основная задача теории упругости может быть решена как в прямой, так и в обратной постановке.

Прямая задача.

Задано: тело S_(x,y,z); массовые силы X,Y,Z; упругие характеристики E,G, m; заданы граничные условия (или статистические , или кинематические, или смешанные).

Определить: σ_ij, ε_ij и u, v, w.

Обратная задача.

Задано: тело S_(x,y,z); упругие характеристики E,G, m; для некоторых внутренних точек известны σ_ij, ε_ij и u, v, w.

Определить: для остальных точек σ_ij, ε_ij и u, v, w; восстановить X,Y,Z и Р (внешнюю нагрузку).

Необходимо отметить, что обратная задача теории упругости решается значительно легче прямой.

Теория напряжений

Как и в сопротивлении материалов, в теории упругости под напряжением понимают меру интенсивности внутренних сил (сил взаимодействия между внутренними частицами деформируемого твердого) рис.2.

Рис.2

Выделяем в окрестности произвольной точки К элементарную площадку ∆F, по которой внутренние силы сведем к равнодействующей силе . Тогда среднее напряжение _сред в точке К по площадке ∆F определяется

_сред = (3.1)

Истинное напряжение в данной точке К есть предел следующего вида

(3.2)

Далее, вектор полного напряжения разложим на составляющие - (нормальные) и (касательные) напряжения (рис.3).

Рис.3

Т.е. справедливо равенство

(3.3)

Тензор напряжений и его компоненты

Из нагруженного тела (рис.4) в окрестности произвольной внутренней частицы тела К выделяем элементарный объем в виде параллелепипеда (куба),

Рис.4

грани которого параллельны координатным плоскостям xy, yz, zx. По граням указанного элемента возникают напряжения, как результат взаимодействия частицы К с соседними. Далее, разложим вектор полного напряжения на каждой грани на нормальную и касательную составляющие, параллельные координатным осям. Полная картина напряжений с соответствующими индексами представлена на рис.5.

Рис.5

Аналогичные составляющие напряжений противоположного направления появится на тыльных гранях элемента (на рисунке не указаны). Составляющие напряжений σ_x, σ_y, σ_z, t_xy, t_yz , t_zx – называются компонентамим тензора напряжений , характеризующего напряженное состояние тела в данной точке. Иногда, для удобства обозначения всех компонентов тензора, будем вводить обозначение σ_ij, а сам тензор напряжений записывают в следующем виде:

(3.4)

С изменением угловой ориентации площадок выделеного элемента (или с изменением положения осей координат X,Y,Z) происходит изменение составляющих σ_ij по его граням. При этом одни из них возрастают, другие – уменьшаются. Доказано, что существует по крайней мере одна тройка взаимно перпендикулярных площадок (граней) элемента, по которым касательные составляющие напряжений t_xy,=t_yz=t_zx=0 обращаются в ноль. Такие площадки называются главными площадками, а возникающие по ним нормальные напряжения называются главными напряжениями и обозначаются σ₁, σ₂, σ₃. Тогда тензор напряжений, представленный через главные напряжения, упрощается и принимает вид:

(3.5)

Частные случаи напряженных состояний

При присвоении индексов при главных напряжениях зачастую придерживаются соотношения σ₁>σ₂>σ₃.

Различают три вида напряженных состояний:

1) Линейное (одноосное) напряженное состояние – такое, при котором одно из главных напряжений не обращается в нуль, а два других равны нулю.

а) одноосное растяжение: σ₁0, σ₂=σ₃=0, σ₁>0;

б) одноосное сжатие: σ₁=σ₂=0, σ₃0, σ₃<0.

2) Плоское (двухосные) напряженное состояние – такое, при котором одно из главных напряжений обращается в нуль, а два других – отличны от нуля.

а) двухосное растяжение: σ₁0, σ₂0, σ₃=0; σ₁>0, σ₂>0.

б) двухосное сжатие: σ₁=0,σ₂0, σ₃0; σ₂<0, σ₃<0.

в) смешанные двухосные напряженное состояние: σ₁0, σ₂=0, σ₃=0; σ₁>0, σ₃<0.

3) Объемное (трехосные) напряженное состояние – такое напряженное состояние, когда ни одно из главных напряжений не обращаются в нуль.

а) трехосное растяжение: σ₁0, σ₂0, σ₃0; σ₁>0, σ₂>0, σ₃>0;

б) трехосное сжатие: σ₁¹0, σ₂¹0, σ₃¹0; σ₁<0, σ₂<0, σ₃<0;

в) смешанное трехосное состояние:

или σ₁¹0, σ₁>0; σ₂¹0, σ₂>0; σ₃¹0, σ₃<0;

или σ₁¹0, σ₁>0; σ₂¹0, σ₂<0; σ₃¹0; σ₃<0.

Прямая и обратная задачи теории напряжений

Как следуют из предыдущего, напряженное состояние в точке может быть задано или тензором общего вида (3.4) или тензором через главные напряжения (3.5). Суть прямой задачи теории напряжений состоит в таком переходе:

Т.е. задан тензор напряжений (3.5) через главные напряжения σ₁, σ₂, σ₃. При этом напряжений по любой наклонной площадке, вектор нормали к которой υ имеет направляющие косинусы по отношению к направлениям σ₁, σ₂,, σ₃ соответственно l,m,n ( , , ), определяем согласно выражениям

(3.6)

(3.7)

Выражения (3.6)и (3.7) – это и есть решение прямой задачи теории напряжений.

Из множества площадок общего положения, т.е. неглавных площадок, особый интерес представляют напряжения по октаэдрическим площадкам – площадкам равнонаклоненным к σ₁, σ₂, σ₃.

В этом случае углы, образованные между нормалью υ к октаэдрической площадке и направляемой главных напряжений σ₁, σ₂, σ₃ будут одинаковы и равны 60º. Известно соотношение в математике

Для нашего случая l=m=n, тогда l²=m²=n²=

И согласно выражению (3.6)

, (3.8)

а согласно (3.7) получим:

(3.9)

Суть обратной задачи теории напряжений состоит в таком переходе

Т.е. задан тензор общего вида (3.4), при этом необходимо определить главные напряжения σ₁, σ₂, σ₃ по известным компонентам σ_x, σ_y, σ_z, t_xy, t_yz , t_zx. Аналитическое решение обратной задачи основано на решении тензорного уравнения:

(3.10)

или соответствующего алгебраического уравнения

, (3.11)

где I₁, I₂, I₃ – инварианты напряженного состояния, принимающие вид

В заключении необходимо отметить, что существует графическое решение прямой и обратной задачи теории напряжений. Оно базируется на построении кругов напряжений (кругов Мора).