1bereshko_i_n_betin_a_v_modelirovanie_i_prognozirovanie_sosto

Пример. Исследуем систему (2.29) при следующих числовых значениях ее коэффициентов:

k1 = 1, k2 = 31 , k3 = 5437 , k4 = 41 , k5 = 1081 .

В этом случае система (2.29) принимает вид

Чтобы найти равновесное состояние (х*,у*) этой системы, составим для неё соответствующее уравнение (2.33):

Абсциссы точек пересечения кубической параболы (2.35)

z = 34 y(1− y) (3 − y)

и прямой (2.36)

z = 1081 y + 5437

(см. рис. 2.3) соответствуют одной из координат y1* = 14 и y2* = 23 точек равновесия, другая координата этих точек определяется из равенства

x* = y* ( 1− y* ). k4

В данном примере

31

Рисунок 2.4 — Геометрическая иллюстрация к нахождению y1* и y2*

исследованию на устойчивость нулевого решения ξ = 0, η = 0 системы:

и представляет собой квадратное уравнение

λ2 + 125 λ − 21685 = 0 .

Корни этого уравнения вещественные с разными знаками. Тогда исследуемая равновесная точка — седло и состояние равновесия x1* = 34, y1* = 14 неустойчивое.

Исследуя аналогичным образом равновесное состояние x2* = 89 , y2* = 23 , приходим к характеристическому уравнению

λ2 + 109 λ − 145432 = 0,

32

которое имеет два комплексно-сопряженных корня λ1,2 = −59 ± i 35 36 с отрицательной вещественной частью. Следовательно, состояние равновесия x2* = 89 , y2* = 23 — устойчивый фокус.

На рис. 2.5 и 2.6 показана динамика условной экогеосистемы (2.40) при различных начальных условиях (2.30), связанных с изменением гидрометеорологических условий при неизменных главных факторах, определяющих систему (2.40):

0 , 5

0

Рисунок 2.5 — Динамика абразионного процесса при различных начальных условиях

Рисунок 2.6 — Динамика биомассы донного биоценоза при различных начальных условиях

33

На рис. 2.7 показан характер фазовых траекторий на фазовой плоскости (x, y) в окрестности точек равновесия А, В для автономной системы (2.40) с фиксированными числовыми значениями коэффициентов ki (1 = 1,2, ,5).

Систему дифференциальных уравнений (2.26), моделирующую абразионный процесс, исследовали в предположении, что коэффициенты этой системы — заданные числа. Однако экологам известно, что точность оценок числового характера экологической модели невелика. В этой ситуации целесообразно использовать дифференциальные уравнения, зависящие от некоторого параметра (например, в системе (2.26) таким параметром может быть интенсивность u поступления или уноса материала). Если при изменении параметра u в любой окрестности некоторого значения uc исследуемые качественные свойства абразионного процесса не одинаковые для всех u и если происходит деформация фазовых портретов динамической системы в окрестности положения равновесия, то значение uc называют бифуркационным или точкой бифуркации абразионного процесса.

0, 7A

0, 5

Рисунок 2.7 — Фазовые кривые системы (2.40) при различных начальных условиях

Порядок выполнения работы

−Ознакомиться с теоретическими сведениями и примером расчета.

−Выписать исходные данные из табл. 2.2.

−Рассчитать равновесные состояния береговой системы.

34

35

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. — М.: Наука, 1976. — 288 с.

2.Динамическая теория биологических популяций / Под ред. Р. А. Полуэктова. — М.: Наука, 1988. — 296 с.

3.Марчук Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. — М.: Наука, 1982. — 320 с.

4.Романов М. Ф., Федоров М. П. Математические модели в экологии. — СПб: Иван Федоров, 2003. — 240 с.

5.Свирижев Ю. М., Елизаров Е. Я. Математическое моделирование биологических сообществ. — М.: Наука, 1972. — 150 с.

6.Свирижев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. — М.: Наука, 1978. — 352 с.

7.Смит Дж. М. Модели в экологии. — М.: Мир, 1976. — 184 с.

8. Федоров М. П., Романов М. Ф. Математические основы экологии. — СПб: Изд-во СПбГТУ, 1999. — 156 с.

36

37

Берешко Игорь Николаевич Бетин Александр Владимирович

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ

Редактор В.И. Филатова

Св. план, 2006 Подписано в печать 21.09.2006

Формат 60х84 1/16. Бум. офс. №2. Офс. печ.

Усл. печ. л. 2. Уч.-изд. л. 2,31. Т.100 экз. Заказ 497. Цена свободная

Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт»

61070, Харьков-70, ул. Чкалова, 17 http://www.khai.edu Издательский центр «ХАИ» 61070, Харьков-70, ул. Чкалова, 17 izdat@khai.edu

38