1bereshko_i_n_betin_a_v_modelirovanie_i_prognozirovanie_sosto

− Вычислить по формуле (1.2) площадь исследуемого объекта, предварительно установив площадь шаблона в соответствии с масштабом карты-схемы.

− Повторить предыдущие два пункта 2–3 раза для каждого из шаблонов, изменяя их ориентацию относительно карты-схемы.

−Свести полученные данные в таблицу (табл. 1.1).

− Построить график зависимости точности определения площади объекта методом Монте-Карло от числа точек на шаблоне, принимая за расчетную площадь среднее арифметическое для каждого из шаблонов.

Лабораторная работа № 2. Клеточные автоматы

Клеточные автоматы впервые были рассмотрены Нейманом и Уламом в 1948 г. в качестве возможной идеализации биологического самовоспроизводства. Многие модели клеточных автоматов — это примеры простых динамических систем, которые дают упорядоченные узоры, возникающие из случайных начальных условий. Пространственные узоры многих клеточных автоматов напоминают узоры, наблюдаемые в природных явлениях.

Представьте регулярную решетку (или таблицу) ячеек (клеток), каждая из которых может находиться в конечном числе состояний, например 0 и 1. Состояние системы полностью определяется значениями переменных в каждой клетке. Особенности клеточных автоматов:

− Состояние каждой клетки изменяется во времени дискретно по шагам.

11

− Переменные в каждой ячейке изменяются одновременно (син-хронно) исходя из значений переменных на предыдущем шаге.

− Правило определения нового состояния клетки зависит только от локальных значений в соседних клетках.

Самый известный клеточный автомат — игра «Жизнь», созданная в 1970 г. Джоном Конвеем. Правила игры просты. Для каждой клетки на квадратной решетке определим сумму значений в восьми окружающих ее клетках. «Живая» клетка (значение 1) выживает только в том случае, когда эта сумма равна двум или трем. Если сумма больше трех, то ячейка «погибает» (значение становится равным нулю) из-за перенаселения. Если сумма меньше двух, то клетка умирает из-за обособленности. «Мертвая» клетка «оживает» на следующем шаге по времени, только если сумма равна трем.

Порядок выполнения работы

− Ознакомиться с правилами работы клеточного автомата Конвея.

− Нарисовать блок-схему алгоритма, реализующего работу автомата.

− Составить простейшие распределения особей для нескольких случаев: вымирающие колонии, неподвижные постоянно живущие колонии, мигрирующие колонии.

− Изучить работу программы, реализующей клеточный автомат Конвея.

− Исследовать поведение составленных колоний и колоний со случайным распределением. Получить статистические данные по выживанию колоний со случайным распределением особей (полное вымирание, длительная миграция, установившееся состояние).

Лабораторная работа № 3. Простейшие модели типа «хищник-жертва»

Рассмотрим простую модель «хищник-жертва». Обозначим F(t) — численность жертв в момент времени t, S(t) — численность хищников в этот же момент времени. Пусть рост популяции жертв ничто не ограничивает. Тогда скорость увеличения численности жертв пропорциональна общей численности жертв — b1F(t), где b1 — коэффициент рождаемости жертв. Скорость вымирания хищников в отсутствие жертв пропорциональна количеству хищников — d2S(t),

12

где d2 — коэффициент смертности хищников. Предположим, что количество уничтожаемых каждым хищником жертв пропорционально полному числу жертв d1S(t), где d1 — коэффициент смертности жертв. Последнее допущение было бы верным, если бы районы охоты каждого хищника были неизменными и не пересекались. Тогда каждый хищник находил бы в своем районе постоянную часть жертв, равную d1S(t)F(t). Прирост численности хищников также пропорционален этой величине, но с меньшим коэффициентом — b1F(t)S(t). Если предположить, что функции F(t) и S(t) непрерывны, то

Уравнения (1.3) и (1.4) известны как уравнения Лотки – Вольтерра. Эта система уравнений имеет устойчивое решение F = b1/d1, S = b2/d2, т. е. численность хищников и жертв со временем становится постоянной. Однако это равновесие нейтральное: если вывести систему из равновесия, в ней возникнут колебания, незатухающие во времени. При малом возмущении решение уравнения описывает эллипс (рис. 1.2) с периодом колебания

T = 2π . b1b2

F

b 1 / d 1

S b 2 / d 2

Рисунок 1.2 — Фазовая диаграмма решения уравнения Лотки – Вольтерра

13

Рассмотрим другую простейшую модель «хищник-жертва», которую сформулируем с помощью следующего вычислительного алгоритма. Данная модель — двумерный клеточный автомат Ва-Тор:

Для описания каждой жертвы при компьютерном моделировании используют три переменные — две пространственные координаты (x, y) и возраст.

Порядок выполнения работы

− Ознакомиться с системой дифференциальных уравнений Лотки – Вольтерра.

− Составить алгоритм численного интегрирования системы уравнений и выполнить несколько расчетов с различным шагом интегрирования.

− Сравнить полученные для своих исходных данных результаты расчета с результатами работы программы,

14

реализующей расчет численности жертв и хищников по модели Лотки –Вольтерра.

−Изучить работу клеточного автомата Ва-Тор.

− Подобрать параметры, при которых система переходит в устойчивое состояние.

− Исследовать поведение составленных колоний хищников и жертв с помощью программы, реализующей работу автомата Ва-Тор.

− Добиться такого начального распределения колоний хищников и жертв, при котором реализуются различные схемы поведения автомата (полное вымирание хищников, последовательное или полное уничтожение жертв и вымирание хищников, длительная миграция колоний жертв и хищников, установившееся состояние).

− Сравнить численность хищников и жертв через одинаковые периоды времени, которые были получены по модели Лотки –Вольтерра и с помощью клеточного автомата Ва-Тор с различным (случайным) начальным распределением хищников и жертв.

− Показать достоинства и недостатки каждой из моделей и подтвердить свои выводы результатами моделирования и математическими выкладками.

−Сделать выводы о реалистичности обеих моделей.

15

2 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЭКОЛОГИИ

Лабораторная работа № 4. Исследование устойчивости развития фито- и зоопланктона в водохранилищах

Каждому температурному, световому, гидрологическому режиму, концентрациям химических веществ и другим параметрам, сложившимся в природных водохранилищах, соответствует состояние биоты экосистемы, близкое к равновесному и характеризующееся определенными плотностями биологических видов. При изменении состояния абиотической среды, например, вследствие антропогенного воздействия, равновесное состояние биоты экосистемы нарушается: биота стремится к новому равновесию, соответствующему новому состоянию абиотической среды. При использовании водохранилищ для водоснабжения крупных регионов важен постоянный контроль за состоянием их экосистем. Поэтому несомненный интерес представляет изучение фитопланктона — основного элемента первого звена трофической (пищевой) цепи, в значительной степени определяющего структуру и функционирование всей экосистемы водохранилища.

В последние десятилетия для решения конкретных задач прогноза качества воды в сложных водных объектах широко применяют математическое моделирование. Для построения математической модели биопродуктивности в водохранилищах для прогноза качества воды используют крупноагрегированную модель развития фитопланктона с учетом влияния зоопланктона на основе модели Лотки –Вольтерра. В этой детерминированной модели учитывают температуру и прозрачность воды, концентрацию биогенных веществ и зоопланктона, а также гидравлические факторы. Модель описывает конвективно-диффузионный перенос фито- и зоопланктона и лимитирующего биогенного элемента, которые связаны дополнительными условиями, выражающими потребление зоопланктоном фитопланктона и биогенных элементов.

С помощью отдельных нелинейных слагаемых математическая модель учитывает естественную смертность зоо- и фитопланктона, потребление ими биогенных элементов, имеющихся в воде, и поступление в воду биогенных элементов из донных отложений и приточных вод.

Ввиду сложности подобной модели ее уравнения редуцированы к одномерной системе, а затем к интегральной форме, выражающей балансовые уравнения фито- и зоопланктона и биогенных элементов

16

в водохранилище. При этом потоки через границы выражают приток и отток компонент рассматриваемой системы в объеме водохранилища. Преобразованная таким образом система уравнений имеет вид

где w — объем воды в водохранилище; cf, cz, cb — средние концентрации фитопланктона, зоопланктона и биогенных веществ в водохранилище; cf1, cz1, cb1 — аналогичные концентрации в притоке

Q1, а cf2, cz2, cb2 — в оттоке Q2; Afb — коэффициент, зависящий от температуры и прозрачности воды; Az — коэффициент, учитывающий

естественную смерть зоопланктона; Af — коэффициент, учитывающий прирост зоопланктона за счет потребления фитопланктона; Azb — коэффициент, учитывающий уменьшение биогенов вследствие их потребления зоопланктоном; ηz — коэффициент Либиха, лимитирующий биогенный элемент для зоопланктона; ηf — коэффициент Либиха, лимитирующий биогенный элемент для фитопланктона; kfz — коэффициент, учитывающий неоднородность отложений наносов в русловом потоке; kf — коэффициент, учитывающий форму подводящего русла. Систему (2.1) интегрируют с начальными условиями:

Рассмотрим возможные равновесные состояния системы (2.1), устойчивость этих состояний, опишем путь развития фито- и зоопланктона в зависимости от начальных данных (2.2). Ответы на поставленные вопросы найдем в теоремах об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений, учитывая при этом особенности уравнений популяционной динамики.

Введем следующие обозначения:

Запишем систему (2.1) таким образом:

17

где

A1 = cf1Q1 − cf2Q2; A2 = cz1Q1 − cz2Q2; A3 = cb1Q1 − cb2Q2;

Найдем равновесные состояния системы дифференциальных уравнений (2.4), обращающие в нуль правые ее части, т. е. решим относительно x1, x2, x3 алгебраическую систему уравнений:

Будем искать решение системы (2.6) в виде

смыслу положительны, то u и v должны быть положительными. Подставляя выражение (2.7) в (2.6), получаем

18

откуда в силу третьего уравнения в системе (2.8) получаем для определения u следующее алгебраическое уравнение третьей степени:

любых значениях исходных данных. Будем искать положительные корни уравнения (2.10). Так как по условию u > 0, то из (2.10) следует, что

корни уравнения (2.12) имеют разные знаки, причем единственный положительный корень уравнения (2.12) находится по формуле

положительны при a1 < 0 . Если среди корней, определяемых по формуле (2.13), нет положительных, то в водохранилище равновесное состояние не наступает.

Пусть u1 — положительный корень уравнения (2.12), а v1 — соответствующее положительное значение, получающееся при u = u1 из формулы

19

вытекающей из первого и третьего уравнений системы (2.8).

Если обозначить через x1* , x2* , x3* равновесное состояние системы (2.4), то в соответствии с формулами (2.7), (2.8)

x1* , x2* , x3* системы (2.4), положим xi = zi + xi* (i = 1, 2, 3). Тогда вопрос об

соответствующей системы уравнений для z = (z1, z2, z3 ) . Эта система имеет вид

где

Исследуя на устойчивость положение равновесия системы (2.17) по уравнениям первого приближения

составляем характеристическое уравнение первого приближения

20