1bereshko_i_n_betin_a_v_modelirovanie_i_prognozirovanie_sosto

положительны, то в силу критерия Рауса – Гурвица все корни характеристического уравнения (2.19) имеют отрицательные вещественные части. Тогда по теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению состояние равновесия x1* , x2* , x3* системы (2.4) асимптотически устойчиво.

Из формул (2.16) в силу (2.3) следует, что зависимости равновесных состояний концентрации фито- и зоопланктона и биогенных элементов от объема воды w в водохранилище выражаются таким образом:

определяемый по формуле (2.15). Найдем соответствующее значение V по формуле (2.16): v1 = 3,2909. В силу (2.17) получаем следующее равновесное состояние системы (2.22):

21

системы (2.22) сводится к вопросу об устойчивости нулевого решения z* = (0, 0, 0) соответствующей системы уравнений для z = (z1, z2, z3 ) . Уравнения первого приближения этой системы с учетом (2.18) имеют вид

определяемые по формулам (2.20), положительны, то корни характеристического уравнения (2.25) имеют отрицательные вещественные части. Тогда по теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению состояние равновесия (2.23) системы (2.22)

22

Рисунок 2.1 — Динамика развития фитопланктона при различных начальных условиях

Многие категории водопотребителей предъявляют существенные требования к качеству воды, забираемой из водохранилища, в частности, к уровню концентрации фито- и зоопланктона и биогенных элементов, содержащихся в воде. Положение о неразрывной связи качества воды со структурой и функционированием водных экосистем характеризует экологический подход к трактовке этого понятия.

Рисунок 2.2 — Динамика развития зоопланктона при различных начальных условиях

Проведенное исследование математической модели (2.1) дает возможность получить простой алгоритм определения устойчивых равновесных состояний концентраций фито- и зоопланктона и

23

биогенных элементов в водохранилище. Кроме того, результаты модельных исследований, их сопоставление с результатами натурных испытаний представляют научный и практический интерес при создании и модернизации гидрометрических приборов и устройств, предназначенных для измерения параметров системы (2.1), характеризующих водохранилище.

Порядок выполнения работы

− Ознакомиться с теоретическими сведениями и примером расчета.

− В соответствии со своим вариантом выписать исходные данные из табл. 2.1.

− Рассчитать равновесные концентрации био- и зоопланктона, биогенных элементов.

− Определить, являются ли полученные равновесные концентрации устойчивыми.

− Численно проинтегрировать систему (2.1) для своих начальных условий и исходных данных.

− Сравнить полученные графики с качественными выводами о возможности равновесия системы и устойчивости этого равновесия.

Таблица 2.1 — Исходные данные для расчета

24

биогенных веществ

Для всех вариантов: Af = 3, ηf = 5, ηz = 2, остальные параметры равны единице

Лабораторная работа № 5. Динамика береговой экогеосистемы в морских экотонах

Главный фактор развития берегов и движущая сила большинства совершающихся береговых процессов морей, крупных озер и водохранилищ — волны, дрейфовые и компенсационные течения, возбуждаемые ветром и действующие одновременно с волнами. В зависимости от местных условий волны либо производят разрушение (абразив) коренных пород береговой зоны, отодвигая берег в сторону суши, либо наращивают его, аккумулируя вдоль берега наносы, либо, наконец, поддерживают стабильные контур и профиль берега, представляющие собой состояние, близкое к равновесному. Таким образом, в природе наблюдаются две схемы деформации берегов под действием волн — абразионная и аккумулятивная.

Достаточно устойчивое существование естественных берегов в условиях непрерывного воздействия волн вдоль их периметра обусловлено принципом самозащиты берега, заложенным в естественном процессе его взаимодействия с волновым потоком. Вследствие этого, как бы ни была велика энергия волн, она неизбежно гасится на пляжах и бенчах — элементах береговой отмели, опоясывающих сушу. Эти береговые формы обладают классической, с инженерной точки зрения, волногасящей, а следовательно, берегозащитной способностью.

Активный фактор развития береговой зоны — различные группы организмов, обитающих на дне. В Черном море такими организмами являются сверлильщики, к которым из моллюсков относится Petricola lithophada, Pholas sp. на каменистом дне и Barnea candida на глинистом, а из губок — Cliona. Иногда эти организмы могут оказывать защитное влияние на берега и дно. Среди последних необходимо отметить водоросли, например цистозиру (Cistoseira

25

barbata), образующую у берегов «подушку», которая гасит удар волны. Живой ракушечник на дне (например устричные банки) защищает грунт от размыва. Это может относиться и к сплошному покрову мертвого ракушечника.

На современных морских берегах, развивающихся в естественных природных условиях, абразия стабилизировалась, и изменчивость ее интенсивности определяется изменчивостью гидрометеорологических условий. Но во многих случаях техногенное вмешательство человека в береговые процессы нарушает естественный ход. В этом случае абразионный процесс выводится из стадии динамического равновесия и стремится к новому равновесному состоянию, соответствующему новым условиям.

Какова будет при этом динамика берега? Так возникает задача моделирования абразионных процессов в целях установления прогноза закономерностей процесса абразии при учете главных факторов, влияющих на этот процесс.

Н. В. Есиным получено уравнение баланса обломочного материала, который в береговых процессах является обратной отрицательной связью, возвращающей процесс в сбалансированное состояние. Это уравнение положено в основу математической модели развития рассматриваемой береговой экогеосистемы. В математической модели дополнительно должно учитываться биогенное продуцирование обломочного наносообразующего материала, коэффициент истираемости которого вследствие волнового воздействия может быть принят линейно зависящим от биомассы донного биоценоза. Динамику биомассы донного биоценоза описывают уравнением, в основу которого положены следующие экологические и литодинамические особенности процесса:

− прирост биомассы донного биоценоза уменьшается при увеличении объема обломочного наносообразующего материала (он способствует угнетению и деградации донного биоценоза);

уравнением.

Если в уравнении баланса обломочного материала дополнительно учитывать биогенную продукцию обломочного наносообразующего материала в береговой зоне и динамику биомассы, то система дифференциальных уравнений, моделирующая абразионный процесс береговой экогеосистемы, имеет вид

26

где

W — объем пляже- и наносообразующего материала (начиная

абразионной отмели (шельфа) (0 < В < Вmax), т/м;

Вmax — стационарный уровень биомассы донного биоценоза;

a — доля пляже- и наносообразующего материала в породах, слагающих берег (0 < а < 1);

H — высота берегового уступа, м;

U — интенсивность поступления (u > 0) или уноса (u < 0) материала за счет естественных (течения) или искусственных (подсыпка, изъятие) факторов, м2/год; δ — коэффициент биогенного продуцирования обломочного

материала (количество обломочного материала, получаемого из одной тонны биомассы в год), м2/год;

t — время, год;

С0, Сmin = const > 0, 1/год;

γ= const >0,1, 1/(м×год);

γ(Wm – W) — скорость отступания берегового уступа, м/год;

линейно зависящий от биомассы донного биоценоза. Эта зависимость представляет собой линейную аппроксимацию между двумя характерными значениями k = C0 + Cmin при B = 0 и

k = Cmin при B = Bmax:

При исследовании состояния экогеосистемы рассмотрим возможные равновесные состояния системы (2.26), устойчивость этих

27

состояний, опишем характер изменения объема пляже- и наносообразующего обломочного материала и биомассы донного биоценоза в зависимости от начальных данных (2.28). Ответы на поставленные вопросы даны в теоремах об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений с учетом особенностей рассматриваемой экогеосистемы. Переходя к безразмерным

k4 = K2Wm > 0;

K1Bmax

k5 = δBmax > 0.

K1Wm

Проинтегрируем систему (2.29) с начальными данными

где

τ 0 = K1t0; x0 = W0 ;

Wm y0 = BB0 .

m ax

Найдем равновесные состояния системы дифференциальных уравнений (2.29), обращающие в нуль правые части этой системы, т. е. решим относительно х и у алгебраическую систему уравнений:

28

Если (х*, у*) — состояние равновесия системы (2.29), то, как следует из (2.31):

Значения х* и у*, как следует из системы (2.31), определяют из решения кубического уравнения

и равенства

x* = y* (1− y* ) . k4

Для исследования уравнения (2.33) запишем его следующим образом:

то корни уравнения (2.34) будут соответствовать на плоскости yz абсциссам точек пересечения параболы (2.35) и прямой (2.36). Таких точек не более трех, а точек, абсциссы y которых лежат в промежутке 0 < у < 1, не более двух. На рис. 2.3 парабола (2.35) с прямыми (I) пересекается в двух точках с абсциссами y1* и y2* из промежутка [0; 1], с прямыми (II) — в одной точке с абсциссой y* [0; 1] , а с прямыми (III) — нет точек пересечения, для которых y [0; 1]. Следовательно, в случае (I) система (2.29) имеет два равновесных состояния (x1*; y1* ) и (x2* ; y2* ) , в случае II — одно равновесное состояние (x* ; y* ) , а в случае (III) равновесное состояние не наступает.

29

y

Рисунок 2.3 — Иллюстрация к нахождению равновесных состояний

Чтобы исследовать на устойчивость равновесное состояние системы (2.29), положим x = ξ + x* , y = η+ y* . Тогда вопрос об устойчивости точки равновесия (x* ; y* ) системы (2.29) сводится к анализу нулевого решения ξ = 0, η = 0 соответствующей системы

уравнений для (ξ, η) :

Исследуя на устойчивость положение равновесия системы (2.37) по уравнениям первого приближения

составим характеристическое уравнение первого приближения:

следовательно, и равновесного состояния (х*, у*) системы (2.29) определяется корнями характеристического уравнения (2.39).

30