Глава 6

ПРОГРАММЫ ПО СТАТИКЕ

6.1 Расчет фермы

УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ. Определить усилия в стержнях плоской фермы (рис. 28, c. 48).

Решение

В основу расчета положим метод вырезания узлов1. В статически определимой неизменяемой ферме с N узлами, стержней всего 2N −3. Для N узлов составляем 2N уравнений проекций на оси x, y. Включаем в число стержней три опорные стержня (два для неподвижной опоры A и один для опоры B, рис. 29). Таким образом, число уравнений совпадет с числом неизвестных.

ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ

Программа (с. 143, 144) состоит из трех блоков.

1. Ввод данных. Задаем число узлов и число стержней фермы, величины нагрузок (в кН), углы. Оператор evalf переводит символ Pi, в формат вещественного числа π.

Для алгоритмизации процесса составления уравнений пронумеруем стержни и узлы (рис. 81). Шарниры 8, 9, 10 необходимы для ориентации опорных стержней 12, 13, 14. Для этих шарниров уравнения равновесия не составляются.

Координаты узлов x,y задаем в виде векторов (массивов) с N + 3 компонентами. Начало координат помещаем в опоре A (узел 1). Вектор

1Алгоритм Горячева В.Н., Резунова А.В.

139

заключен в скобки < > , элементы отделены вертикальными черточками |.

Указываем номера точек приложения (Nbeg) векторов усилий в стержнях и номера их концов (Nend). Точка приложения выбирается условно, так как стержень подходит к двум узлам, и в качестве начала вектора усилия можно взять любой из них.

2. Рисунок фермы. Для контроля ввода геометрических величин изображаем ферму средствами графики Maple V. Для этого задействуем оператор вывода графических объектов на экран display.

Изображение стержня с номером i присваиваем переменной R[i] в цикле по числу стержней, включая опорные.

Одна из форм оператора цикла в Maple имеет вид

for i from i1 by i2 to i3 do ...od.

Шаг by i2 и начальное значение from i1 по умолчанию приняты равными 1 и могут опускаться. Оператор PLOT(CURVES([[x1,y1], [x2,y2]])) создает графический объект — отрезок с концами в точках с координатами (x1, y1) и (x2, y2).

Для вывода номеров стержней и узлов выбираем шрифт и размер. Эти значения заносим в переменную Шрифт. В Maple для переменных можно использовать русские буквы, программы при этом читаются легче. В отдельных циклах создаются графические объекты Шарнир[i] — номера узлов, Стержень[i] — номера стержней. Цвет номеров задает оператор COLOR(HUE,n). Выбор цвета определяет дробная часть числа n. Можно также использовать оператор COLOR(RGB,n1,n1,n3) и выбирать цвет оттенками красного, зеленого и голубого, 0 < ni < 1.

Оператор для изображения нагрузок — arrow. Параметры стрелок (толщина стрелки, толщина острия, отношение длины острия к длине стрелки и цвет) присвоены переменной arw2.

Чтобы не писать длинный список объектов, для вывода изображения используется запись seq(R[i],i=1..M) — краткая форма простого перечисления R[1], R[2],..., R[M].

2В пакетах plots и plottools системы Maple 7 оператор arrow определяется различным образом, поэтому порядок подключения этих пакетов для решения является существенным.

В операторе display можно использовать различные режимы (опции); scaling=constrained — опция, задающая одинаковый по осям координат масштаб рисунка. Если после оператора display поставить не двоеточие, а точку с запятой, то на экране появится изображение фермы (рис. 81).

3. Вычисления. Косинус угла усилия S[i], i = 1, ..., M с осью x, приложенного к узлу j, поместим в переменную типа двумерного массива G[2j-1,i]. Косинус угла этого же усилия с осью y – в G[2j,i]. Элементы G предварительно обнуляются командой restart.

В теле цикла вычисляются G[i,j]. Каждое из неизвестных усилий Si входит в систему уравнений дважды: в уравнения равновесия узлов Nbeg[i] и Nend[i] с разными знаками. Только усилия опорных стержней с номерами M-2, M-1, M появляются в уравнениях равновесия по одному разу, отсюда необходимость условного оператора if < M-2... fi3.

Проекции нагрузки Fjx и Fjy , приложенной к узлу j, заносятся соответственно в элементы 2j-1 и 2j вектора B правой части системы уравнений.

LinearSolve(A,B) — оператор решения системы уравнений с матрицей A и вектором правой части B. Для того, чтобы этот оператор работал, необходимо загрузить специальную библиотеку программ командой with(LinearAlgebra). Величины G[i,j] не образуют матрицу, поэтому для обращения к оператору решения LinearSolve используем преобразование Matrix(M,G). В результате решения значения усилий присваиваются элементам вектора S.

Для вывода на печать чисел и символов используем оператор форматного вывода printf. Сначала указываем формат вывода (список форматов), потом список чисел. Вместо знака % предполагается ставить число по формату, следующему за этим знаком. Формат g годится для вывода целых и вещественных чисел. Формат N.Mf отводит при печати N позиций под вещественное число, включая десятичную точку и M позиций для дробной части числа. Число на своей позиции сдвигается вправо. Перевод каретки на новую строку кодируется как

\n.

3Для завершения цикла и условного оператора допустимо применять end вместо od и fi.

Программа 1. Расчет фермы

>restart: with(LinearAlgebra): 1. Ввод данных

N - число узлов, M - число стержней фермы. Нагрузки (кН), угол наклона опорного стержня

>N:=7: M:=2*N: P:=30: Q:=15: F:=20:

>alpha:=evalf(Pi/3): beta:=evalf(Pi/3):

Длина опорных стержней на рисунке

>d:=1.:

Координаты узлов

>x:=<0|2|6|8|1|4|7|-d|0|8-cos(beta)*d>:

>y:=<0|0|0|0|2|2|2|0|-d|-sin(beta)*d>:

Номер узла начала и конца стержня-вектора

>Nbeg:=<1|2|3|1|2|2|3|3|4|5|6|1|1|4>:

>Nend:=<2|3|4|5|5|6|6|7|7|6|7|8|9|10>: 2. Рисунок фермы

>with(plots):with(plottools):

>for i to M do

>R[i]:=PLOT(CURVES([[x[Nbeg[i]],y[Nbeg[i]]],

>od:

>Шрифт:=FONT(TIMES,BOLD,8):

>for i to N+3 do

>Шарнир[i]:=PLOT(TEXT([x[i],y[i]+0.3],convert(i,symbol)),

>od:

>for i to M do

>Стержень[i]:=PLOT(TEXT([(x[Nbeg[i]]+x[Nend[i]])/2,

Параметры стрелки на рисунке > arw:=0.05,0.2,0.2,color=red:

Проекции наклонной силы

>Fx:=F*cos(alpha): Fy:=-F*sin(alpha):

Изображение нагрузок

>F1:=arrow([x[2],y[2]],evalm([Fx,Fy]*0.05),arw):

>Q1:=arrow([x[5],y[5]],evalm([-Q,0]*0.05),arw):

>P1:=arrow([x[3],y[3]],evalm([0,-P]*0.05),arw):

>Изображение фермы

>display(F1,Q1,P1,seq(R[i],i=1..M),

Заполнение матрицы

>for i to M do

>Lx:=x[Nend[i]]-x[Nbeg[i]]:

>Ly:=y[Nend[i]]-y[Nbeg[i]]:

>L:=evalf(sqrt(Lx^2+Ly^2)):

>G[2*Nbeg[i]-1,i]:=Lx/L: G[2*Nbeg[i],i]:=Ly/L:

>if i<M-2 then G[2*Nend[i]-1,i]:=-Lx/L:

>od:

Правая часть системы - вектор нагрузок

>B:=<0|0|Fx|Fy|0|-P|0|0|-Q|0|0|0|0|0>:

>for i to M/2 do

>printf(‘%3.0f%9.3f %3.0f%9.3f\n‘,

> 2*i-1,S[2*i-1],2*i,S[2*i]); > od;

Ответы. Усилия даны в кН.

6.2 Центр тяжести плоской фигуры

УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ. Определить координаты центра тяжести однородной плоской фигуры (рис. 74, c. 124).

Решение

Применим метод интегрирования по контуру. Для площади фигуры, ограниченной ломаной L с угловыми точками (xi, yi), i = 1, ..., n, существует точная формула4:

Аналогично вычисляем координаты центра тяжести:

n

1 X

xc = 6A i=1 (xi+1yi − xiyi+1)(xi + xi+1 ),

n

1 X

yc = 6A i=1 (xi+1yi − xiyi+1)(yi + yi+1).

Принимается обход контура по часовой стрелке, последняя точка совпадает с первой и имеет номер (n + 1). Пронумеруем угловые точки контура (рис. 82). Дугу окружности заменяем ломаной. Координаты угловых точек на дуге вычисляем по формулам

xi = 3 + R cos(iπ/N ), yi = R sin(iπ/N ), i = 1, ..., N, R = 1,

где N — число точек на окружности. Если фигура двусвязная, то для использования этого метода необходимо сделать разрез, соединяющий внутренний и внешний контур (рис. 83). При обходе фигуры внутренний контур будет пройден против часовой стрелки, и его площадь станет отрицательной, а разрез, пройденный дважды в противоположных направлениях, не внесет добавки в интеграл.

4 Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.Т.III, М.:1970, c. 35.

ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ

Вводим число точек контура без кругового выреза K и число точек на вырезе N . Координаты точек заносим в переменные X,Y и Xcircl, Ycircl, а затем в матрицу T.

Программа 2. Центр тяжеcти

> restart:

Число точек на дуге и число угловых точек

>N:=20: K:=4: pi:=evalf(Pi): n:=K+N:

Матрица координат

>F:=i*pi/N: X:=1,0,4,4: Y:=0,2,3,0:

Точки на дуге

>Xcircl:=seq(3+cos(F),i=1..N):

>Ycircl:=seq(sin(F),i=1..N):

Матрица координат

>T:=matrix(2,n+1,[X,Xcircl,1,Y,Ycircl,0]):

>with(plots):polygonplot(T,scaling=constrained);

Площадь

>Z:=T[2,i]*T[1,i+1]-T[1,i]*T[2,i+1]:

>A:=add(Z,i=1..n)/2;

Координаты центра тяжести

>Xc:=add(Z*(T[1,i]+T[1,i+1]),i=1..n)/6/A;

>Yc:=add(Z*(T[2,i]+T[2,i+1]),i=1..n)/6/A;

A := 7.435655350

Xc := 2.193077180

Yc := 1.524739473

Первая строка матрицы — координаты x, вторая — координаты y. Последняя точка имеет номер K+1+N и совпадает с первой.

Оператор polygonplot строит изображение контура, ограничен-

Литература

[1]Аладьев В.З., Богдявичус М.А. Maple 6: Решение математических, статистических и физико-технических задач. — М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.

[2]Афанасьев В.И., Зимина О.В., Кириллов А.И., Петрушко И.М., Сальникова Т.А. Решебник.Высшая математика. Специальные разделы. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

[3]Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах.Т.1. — М.: Наука, 1984.

[4]Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике.— М.: Наука, 1980.

[5]Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р., Курс теоретической механики.

— СПб.:Лань, 1998.

[6]Веретенников В.Г., Карпов И.И., Маркеев А.П. и др. Теоретическая механика. Вывод и анализ уравнений движения на ЭВМ: учебное пособие для вузов. — М.: Высшая школа, 1990.

[7]Вильке В.Г. Теоретическая механика. — М.: Изд-во МГУ, 1998.

[8]Говорухин В., Цибулин В. Компьютер в математическом исследовании. Учебный курс.— СПб.: Питер, 2001.

[9]Дьяконов В.П. MAPLE 7. Учебный курс. — СПб.: Питер, 2002.

[10]Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Решебник. Высшая математика. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

[11]Кепе О.Э., Виба Я.А., Грапис О.П. и др. Сборник коротких задач по теоретической механике. — М.: Высшая школа, 1989.

[12]Манзон Б.М. Maple V Power Edition. — М.: ИИД "Филинъ", 1998.

149

Pi 139 PLOT 141 plots 141, 143

plottools 141, 143 polygonplot 146 printf 142

restart 137, 142 RGB 141

scaling 142 seq 141 solve 13 sqrt 144 symbol 143

vector 122

with 142, 143 www.academiaxxi.ru 13, 122, 137