Глава 3

РАВНОВЕСИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ

3.1 Трение скольжения

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Конструкция состоит из двух шарнирно соединенных между собой тел. Одна из опор конструкции представляет собой одностороннюю связь и допускает проскальзывание с трением. Коэффициент трения, размеры конструкции и часть внешних нагрузок заданы. Найти пределы изменения одной из внешних нагрузок, действующей на конструкцию в условии равновесия.

План решения

1. Задаем направление возможного движения подвижной опоры, скользящей с трением. Прикладываем к этой опоре силу трения, направляя ее в сторону противоположную возможному движению. Предельное значение силы трения связываем с величиной нормальной реакции опоры N по формуле Кулона Fтр = N f , где f — коэффициент трения, зависящий от свойств контактирующих материалов и заданный в условии задачи.

2.Решаем задачу о равновесии системы тел. Для этого разбиваем систему на две отдельные части, для которых составляем и решаем уравнения равновесия (§ 2.4, § 2.5). Из решения определяем предельное значение нагрузки для заданного направления скольжения опоры.

3.Меняем направление возможного движения системы и направление предельной силы трения. Предыдущий пункт плана выполняем заново и определяем другое предельное значение нагрузки. Два най-

77

денных значения нагрузки определяют ту область ее изменения, при которой конструкция находится в равновесии.

ПРИМЕР. Конструкция состоит из двух частей, шарнирно соединенных в точке C (рис. 52). Опора B представляет собой одностороннюю связь и допускает проскальзывание с коэффициентом трения f = 0.2, опора A — неподвижный шарнир. К конструкции приложена пара сил с моментом M = 10 кНм, сила Q = 10 кН под углом α = 60◦. Размеры даны в метрах. Найти пределы изменения нагрузки P , действующей под углом β = 30◦ на конструкцию, в условии равновесия.

4

bA

76

Рис. 52

Решение

1. Задаем направление возможного движения подвижной опоры, скользящей с трением Предполагая возможное движение ползуна B

влево, силу трения ~ направим направо (рис. 53). Предельное зна-

Fтр

чение силы трения связываем с нормальной реакцией опоры N по формуле Кулона:

где f = 0.2 — коэффициент трения.

Рис. 53

2. Решаем задачу о равновесии системы тел. Для этого систему разбиваем по шарниру C на две отдельные части — AC и CB. Реакции шарнира C XC , YC для левой и правой части направлены в противоположные стороны (рис. 54). К точке A прикладываем две составляющие реакции неподвижного шарнира XA, YA.

Рис. 54

Действие ползуна заменяем нормальной реакцией N , направленной вниз, так как ползун по условию задачи является односторонней связью, и силой трения Fтр. Из множества комбинаций уравнений равновесия (§ 2.4, c. 62) выберем уравнение моментов относительно точки A для всей системы в целом (рис. 53) и сумму моментов относительно

80 Глава 3. Равновесие при наличии трения

C для правой части:

P MA(цел) = −N · 13 − Fтр · 8 + M − Q · 7 · sin α+

+ Q · 8 · cos α + P (4 cos β + 13 sin β) = 0, (2) P MC(прав) = −N · 6 − Fтр · 4 + P · 6 sin β = 0.

Уравнения (2) вместе с законом Кулона (1) образуют замкнутую систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными N , Fтр, P . Решение системы имеет вид

При f = 0.2 получаем P1 = 3.015 кН. Эта нагрузка для движения влево является предельной.

3. Меняем направление возможного движения системы и направление предельной силы трения. Пусть ползун B движется вправо. Силу

~ направим в противоположную сторону. Очевидно, знак момента

Fтр

силы ~ в уравнениях (2) изменится на противоположный, следова-

Fтр

тельно, решение для нового направления движения будет отличаться от (3) только знаком при f . Формально подставляя в (3) f = −0.2, получим P2 = 3.136 кН. Значения P1 и P2 являются границами области равновесия.

Чтобы убедиться, что равновесие соответствует значениям нагрузки между этими числами, определим P при f = 0. Действительно, из

(3) имеем P1 < P = 3.066 кН < P2.

Из выражения (3) для N также следует, что при f = ±0.2 нормальная реакция N > 0, поэтому отрыв ползуна от поверхности невозможен. Таким образом, рама находится в равновесии при

Pmin ≤ P ≤ Pmax,

где

Pmin = 3.015 кН, Pmax = 3.136 кН.

Этим нагрузкам соответствуют следующие значения нормальной реакции: N(min) = 1.330 кН, N(max) = 1.806 кН.

ЗАМЕЧАНИЕ. Неравенство N(min) < N(max) не является обязательным.

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Конструкция состоит из двух шарнирно соединенных между собой тел. Опора B представляет собой одностороннюю связь и допускает проскальзывание с коэффициентом трения f . Найти пределы изменения нагрузки P , действующей на конструкцию в условии равновесия (в кН). Размеры даны в метрах.