Лекция 2. Линейные образы в r3 .

Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Рассмотрим сферу радиуса R, с центром в точке А(а,в,с). Сфера- множество точек, отстоящих от центра на одном и том же расстоянии R. Обозначим через M(x,y,z) произвольную точку на сфере, радиуса R, тогда . Мы получим две точки:

(1).

Возведя в квадрат обе части равенства (1), мы получим более удобную формулу:

(2).

Равенство (2) называется уравнением сферы с центром в точке А(а,в,с) и радиуса R.

Определим теперь, что следует вообще понимать под уравнением некоторого множества. Пусть выбрана система координат. Под уравнением множества S в этой системе координат мы будем понимать выражение определения S через координаты его точек, т.е. высказывание, верное для координат точек, принадлежащих S, и неверное для координат точек, ему не принадлежащих.

Понятие алгебраической поверхности.

Определение. Алгебраической поверхностью называется множество, которое в какой-нибудь декартовой системе координат может быть задано уравнением вида: (3),

где все показатели степени – целые неотрицательные числа. Наибольшая из сумм: называется степенью уравнения, а также периодом алгебраической поверхности. Это определение означает, в частности, что сфера, уравнение которой в прямоугольной системе координат имеет вид (2), является алгебраической поверхностью второго порядка.

Перейдем к рассмотрению линейных образов в пространстве R₃.

Плоскость.

1. У равнение плоскости , проходящей через данную точку М₀(x₀,y₀,z₀), перпендикулярно данному вектору .

М(x,y,z)- текущая точка плоскости . Вектор . Для любой точки плоскости векторы и ортогональны, следовательно, их скалярное произведение равно 0.

. (4)

В уравнении (4) перейдём к координатной форме:

. (5)

Уравнение (5) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.

2. Общее уравнение плоскости- это уравнение 1-ой степени с неизвестными x,y,z имеет вид: Ax+By+Cz=0. (6)

3. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

П усть плоскости принадлежат точки M₁(x₁,y₁,z₁), M₂(x₂,y₂,z₂), M₃(x₃,y₃,z₃),

M(x,y,z) - текущая точка плоскости, тогда векторы ,

,

компланарны и, следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.

, или . (7)

4. Уравнение плоскости «в отрезках»:

, где а,b,с – величины отрезков, отсекаемых плоскостью от начала координат на осях координат.

5. Расстояние точки от плоскости.

Дана плоскость и точка вне плоскости, тогда расстояние точки M₀ от плоскости имеет вид:

6. Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Даны две плоскости:

(1)

(2)

и ; - нормальные векторы к соответствующим данным плоскостям.

За угол между двумя плоскостями принимается угол между их нормальными векторами:

_.Если плоскости параллельны, то векторы и коллинеарны, и, следовательно,

- условие параллельности двух плоскостей.

Если плоскости перпендикулярны, то - условие перпендикулярности двух плоскостей.