Замечание .Скалярное произведение порождает норму по правилу .

1. очевидно,

2. ,

3. Покажем сначала . Пусть x0. R, 0 (x + y, x+y)=²(x,x)+2(x,y)+(y,y)= -квадратный трехчлен неотрицательный 

D=(x,y)² - 0  (x, y)² ,

= .

Определение 7. n-мерным Евклидовым (точечным) пространством называется тройка (Е, Ф, (х,y)) объектов:

n-мерное векторное пространство Е;

скалярное произведение (х,y) на нем;

множество точек Ф, которые обладают свойствами:

1. каждой упорядоченной паре точек А,В Є Ф поставлен в соответствие один элемент х из Е, который обозначается х = ,

2. AФ, xФ существует единственная точка ВФ со свойствами: = x,

3. A, B, CФ, + = .

Обозначаем :=(E,Ф, (, )) .

Замечание. Пара (е, (, .)) называется n-мерным Евклидовым пространством; пара (е,ф) со свойствами 1)-3) называется n-мерным аффинным пространством.

Определение 8. n-мерным арифметическим Евклидовым пространством называется тройка

:=(Rⁿ, Ф, (, )), где Ф:={A=(x₁,…,x_n): x₁,…,x_n R},x={x₁,…,x_n}, y={y₁,…,y_n}Rⁿ, (x,y):=x₁y₁+…+x_ny_n.

Если А=(x₁,…x_n), B=(y_1,…,y_n), то ={y₁-x₁,…,y_n-x_n}Rⁿ.

Определение 8. В n-мерном Евклидовом пространстве совокупность какой-либо точки О (начало координат) и какого-либо базиса ℓ₁… ℓ_n Є Е называется декартовой системой координат (ДСК).

Определение 9. Символом Кронекера называется отображение _{i, j} : N² R, определяемое по правилу:

_{i, j}= , i, jN.

Определение 10. Базис ℓ₁… ℓ_n в называется ортонормированным , если  i, j  n, (e_{i ,} e_j)= _{i, j}, то есть элементы его попарно “перпендикулярны ” для ij (e_i , e_j)=0, и их нормаль равна 1: =1

Определение 11. ДСК, в которой выделенный базис является ортонормированным, называется прямоугольной (ПДСК).

Пример 6. В В₃ со скалярным произведением тройка попарно перпендикулярных векторов единичной длины : , есть пример ортонормированного базиса.

Пример 7. В векторы e₁={1,0,…,0},…,e_n={0,0,…,0,1} образуют ортонормированный базис.

Определение 12. Коэффициенты разложения элемента а Е по базису e_1, e₂,…, e_n : а =₁e₁+ ₂e₂+…+_ne_n называются координатами (компонентами) элемента а в базисе e_1, e₂,…, e_n.

Используемая литература

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 2002.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – Ростов н/Д: Феникс, 1997.

3. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1995.

Оглавление

Лекция 1. Линейные образы в R₂. 3

Задачи на тему “Прямая на плоскости”. 7

Лекция 2. Линейные образы в R₃ . 10

Смешанные задачи на прямую и плоскость. 18

Лекция 3. Кривые второго порядка. 22

2. Эллипс (в декартовой системе координат) 22

МF₁ + MF₂ = 2а 22

Эксцентриситет эллипса =<1. 23

ОМ = ρ, МОρ =. Числа ρ и  определяют положение точки М относительно системы координат, их называют полярными координатами точки М(ρ;). 28

Чтобы установить взаимнооднозначное соответствие между точками плоскости и координатами этой точки, ограничим изменение полярного угла промежутком -< (или иным промежутком длины 2π). Значения , удовлетворяющие этому условию, называют главными значениями. Назовем полярные координаты ρ,  основными, если ρ ≥0, а  есть главное значение полярного угла, т.е. если -< . 28

Примеры на тему: ”Кривые второго порядка”. 30

Лекция 4. Поверхности второго порядка. 34

Лекция 5. Линейная алгебра. 38

Предложение 1. Система столбцов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов есть линейная комбинация остальных. 42

Предложение 2 . Если в систему столбцов входит нулевой столбец, то система линейно зависима. 42

Предложение 3. Если в системе из k столбцов к-1 столбцов линейно зависимы, то и k столбцов линейно зависимы. 42

Задачи на тему “Матрицы”. 43

Лекция 6. Системы линейных алгебраических уравнений. 48

Однородные системы линейных уравнений. 48

Задачи на тему “Системы линейных алгебраических уравнений”. 56

A~. 56

В полученной системе положим x₂=1, будем иметь: 57

Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). 59

Лекция 7. Понятие линейного преобразования. Собственные векторы. 62

Задачи на темы ”Собственные векторы ”, “Приведение кривой к 66

каноническому виду”. 66

Примеры векторных (линейных) пространств. 70

Пример 2. Пространство всех вещественных чисел. 70

Замечание 1. Арифметическое пространство Rⁿ является векторным пространством (удовлетворяет аксиомам 1) – 8)). 71

Пример 4. =(): R, ():=IxI IyI cos. 72

74

Используемая литература 75